[논문 리뷰] Optimal cross hedging for insurance derivatives

Stefan Ankirchner, Peter Imkeller외 1명|ArXiv.org|2007. 05. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기후 변화와 같은 외부 물리적 위험(예: 기온)에 연동된 보험 파생상품을 위한 최적의 동적 크로스 헤징 전략을 개발한다. 관련된 거래 가능한 금융 자산을 활용하여 명시적인 유용도 무차별 가격 결정 공식을 유도하고, 동적 헤징이 엔트로피 리스크를 상관계수와 관련된 인자만큼 감소시킴을 보여주며, 파생상품이 분산 효과를 가지는 경우 리스크 감소가 보장됨을 밝힌다.

ABSTRACT

We consider insurance derivatives depending on an external physical risk process, for example a temperature in a low dimensional climate model. We assume that this process is correlated with a tradable financial asset. We derive optimal strategies for exponential utility from terminal wealth, determine the indifference prices of the derivatives, and interpret them in terms of diversification pressure. Moreover we check the optimal investment strategies for standard admissibility criteria. Finally we compare the static risk connected with an insurance derivative to the reduced risk due to a dynamic investment into the correlated asset. We show that dynamic hedging reduces the risk aversion in terms of entropic risk measures by a factor related to the correlation.

연구 동기 및 목표

• 기온 변동성과 같은 물리적 기후 리스크에 노출된 보험 파생상품에 대한 최적의 동적 헤징 전략을 개발하기.
• 기하급수적 유용도 최적화 하에서 이러한 파생상품에 대한 명시적인 유용도 무차별 가격 결정 공식을 도출하기.
• 엔트로피 리스크 측도와 상관계수 효과를 활용해 동적 크로스 헤징의 리스크 감소 정도를 정량화하기.
• 파생상품 노출 존재 하에서 최적 투자 전략의 적합성 및 구조적 성질을 분석하기.
• 다양한 상관계수 및 드리프트 조건 하에서 정적 리스크 노출과 동적 헤징 결과를 비교하기.

제안 방법

• 외부 리스크 과정(예: 기온)을 위너 과정 W에 의해 구동되는 확산 과정으로 모델링하며, 변동성은 σ로 표현한다.
• W와 독립적인 위너 과정 B에 의해 구동되는 상관계수를 β₁² 및 β₂²로 캡처한 관련 금융 자산 P를 도입한다.
• 위험 회피를 모델링하기 위해 기하급수적 유용도 U(x) = -exp(-ηx)를 사용하고, 동적 최적화를 통해 유용도 무차별 가격 p를 유도한다.
• Feynman-Kac 공식을 적용하여 유용도 무차별 가격을 p(t,x) = -1/k ln E^Q[exp(-kF(Y_T^{t,x}))]로 표현하며, 여기서 k = ηβ₂²/(β₁² + β₂²)이다.
• 관련된 해밀턴-자코비-벨만(HJB) 방정식을 풀어 파생상품이 존재할 경우의 최적 투자 전략 π*와 존재하지 않을 경우의 전략 π#을 명시적으로 유도한다.
• Girsanov 정리와 Novikov 조건을 활용하여, 크로스 수정 리스크 측도가 계수 k를 갖는 엔트로피 리스크 측도와 일치하는 새로운 확률 측도 Q̂를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 기후 리스크에 노출된 보험 파생상품에 대해 최적의 동적 헤징 전략을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 기하급수적 유용도 하에서 이러한 파생상품의 명시적 유용도 무차별 가격은 무엇인가?
• RQ3 관련 금융 자산을 활용한 크로스 헤징은 어떻게 리스크를 감소시키며, 그 감소 정도는 어떻게 정량화되는가?
• RQ4 정적 리스크 대비 동적 헤징이 엔트로피 리스크 감소에 기여하는 조건는 무엇인가?
• RQ5 물리적 리스크 과정과 금융 자산 간의 상관계수가 헤징에서의 위험 회피 계수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 파생상품 존재 시 최적 투자 전략이 명시적으로 도출되었으며, 이는 리스크 과정과 금융 자산 간의 상관계수 구조에 의존함을 보여준다.
• 유용도 무차별 가격은 p(t,x) = -1/k ln E^Q[exp(-kF(Y_T^{t,x}))]로 주어지며, k = ηβ₂²/(β₁² + β₂²)로 표현되어 닫힌 형태의 해를 제공한다.
• 동적 헤징은 효과적인 위험 회피 계수를 η에서 k < η로 감소시켜, 파생상품이 분산 효과를 가지는 경우 더 낮은 엔트로피 리스크를 초래한다.
• 파생상품 F(X_T)가 단조 증가하고 드리프트 g가 비음이면, F(X_T)와 투자 노이즈 간의 상관계수가 음수일 경우 동적 헤징이 리스크 감소를 이끈다.
• 금융 자산이 물리적 리스크와 상관관계가 없을 경우(β₁ = 0), 리스크 감소는 F(X_T)와 드리프트 g 간의 음의 상관관계에 의해 결정되며, 이는 필수적이고도 충분한 조건이다.
• 드리프트 g = 0일 경우, 동적 무차별 가격 p는 항상 정적 가격 s보다 크며, 이는 이 조건 하에서 동적 헤징이 항상 리스크를 감소시킴을 증명한다.