[논문 리뷰] Optimal Deadline Scheduling with Commitment

Shiyao Chen, Lang Tong외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 06.

Electric Vehicles and Infrastructure참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 하드 딜레인과 수락 의무 조건을 갖는 온라인 선점형 작업 스케줄링을 위한 딜레인 스케줄링 with 커밋먼트(DSC) 알고리즘을 제안한다. 스케줄러는 작업을 즉시 수락하거나 거부해야 하며, 딜레인을 어길 경우 벌금을 부과한다. 이 논문은 DSC가 $3 - 2\sqrt{2} \approx 17.16\%$의 최적 경쟁비율을 달성함을 증명하며, 이는 수락 의무 조건 하에서 달성 가능한 최고의 성능이다. 또한 이 알고리즘은 주차장에서의 플러그인 하이브리드 전기차(PHEV) 충전 스케줄링에의 적용을 보여준다.

ABSTRACT

We consider an online preemptive scheduling problem where jobs with deadlines arrive sporadically. A commitment requirement is imposed such that the scheduler has to either accept or decline a job immediately upon arrival. The scheduler's decision to accept an arriving job constitutes a contract with the customer; if the accepted job is not completed by its deadline as promised, the scheduler loses the value of the corresponding job and has to pay an additional penalty depending on the amount of unfinished workload. The objective of the online scheduler is to maximize the overall profit, i.e., the total value of the admitted jobs completed before their deadlines less the penalty paid for the admitted jobs that miss their deadlines. We show that the maximum competitive ratio is $3-2\sqrt{2}$ and propose a simple online algorithm to achieve this competitive ratio. The optimal scheduling includes a threshold admission and a greedy scheduling policies. The proposed algorithm has direct applications to the charging of plug-in hybrid electrical vehicles (PHEV) at garages or parking lots.

연구 동기 및 목표

• 하드 딜레인과 수락 의무 조건 하에서 온라인 작업 스케줄링 문제를 해결하기 위해, 스케줄러가 작업을 즉시 수락하거나 거부해야 하며, 딜레인을 어길 경우 벌금을 부과하는 환경을 고려한다.
• 미래의 작업 도착에 대한 최악의 상황을 고려하여, 작업 수용과 미완료 작업에 대한 벌금 간의 균형을 통해 수익을 극대화한다.
• 기존의 수락 의무 조건이 없는 연구와 대비하여, 수락 의무 조건 하에서 온라인 스케줄링의 이론적 최적 경쟁비율을 확립한다.
• 실제 시스템, 예를 들어 PHEV 충전소와 같은 환경에 적용 가능한 실용적인 온라인 알고리즘(DSC)을 설계하여, 이 최적 경쟁비율을 달성한다.

제안 방법

• DSC 알고리즘은 작업의 가치와 처리 시간을 기반으로 한 임계값 수용 정책을 사용하며, 동적으로 계산된 임계값을 초과하는 작업은 거부하여 향후 벌금 노출를 제한한다.
• 수용된 작업들 중에서 가장 빨리 도래하는 딜레인을 가진 작업을 우선순위로 하는 게으른 스케줄링 정책을 적용하여 보류 중인 작업에 대해 최대한의 진전을 이룬다.
• 경쟁비율 분석은 온라인 스케줄러를 시험하기 위해 악성 입력 모델을 사용한다. 이 모델에서는 오프라인 대결자(Adversary)가 점점 긴 처리 시간을 갖는 긴밀한 작업들을 전략적으로 배포하여 스케줄러를 시험한다.
• 경쟁비율의 상한을 구하기 위해 처리 시간 $x_i$의 재귀 수열을 구성하며, 이는 매개변수 $c$에 대한 특성 방정식 $x^2 - (c+1)x + 2c = 0$으로 이어진다.
• 식 (7)의 최대값 표현에서 모든 항이 $1/c$ 이하로 제한되도록 분석하여, $c = 3 + 2\sqrt{2}$를 한계 경우로 도출한다.
• 최적 경쟁비율 $3 - 2\sqrt{2}$는 $3 + 2\sqrt{2}$의 역수로 유도되며, 이는 어떤 온라인 알고리즘으로도 이를 초월할 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수락 의무 조건이 있는 딜레인 스케줄링에서 어떤 온라인 알고리즘도 달성할 수 있는 최고의 경쟁비율은 무엇인가?
• RQ2 즉각적인 수락 또는 거부와 딜레인 위반에 대한 벌금을 수반하는 수락 의무 조건은 온라인 스케줄링의 최악의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 간단한 온라인 알고리즘이 수락 의무 조건 하에서 최적 경쟁비율을 달성할 수 있는가? 만약 가능하다면, 그러한 알고리즘이 만족해야 할 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ4 수락 의무 조건이 있는 온라인 스케줄링의 성능은, 기존의 수락 의무 조건이 없는 설정과 비교해 볼 때 어떻게 다른가? 기존 설정에서는 최적 경쟁비율이 $1/4$이다.
• RQ5 벌금 구조는 온라인 딜레인 스케줄링에서 수용 및 스케줄링 정책의 설계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수락 의무 조건 하에서 온라인 딜레인 스케줄링의 최적 경쟁비율은 $3 - 2\sqrt{2} \approx 17.16\%$로 증명되었으며, 이는 수락 의무 조건 하에서 달성 가능한 최고의 성능 보장이다.
• 제안된 DSC 알고리즘은 임계값 수용 정책과 게으른 가장 빠른 딜레인 우선 스케줄링 정책을 통해 이 최적 경쟁비율을 달성한다.
• 수락 의무 조건으로 인한 성능 손실은, 수락 의무 조건이 없는 경우에 달성 가능한 $1/4 = 25\%$의 경쟁비율 대비 $7.84\%$ 감소한 것으로 정량화된다.
• 경쟁비율의 상한을 구하기 위해 재귀적으로 정의된 처리 시간 $x_i$를 갖는 악성 작업 도착 시퀀스를 구성하였으며, 이는 $c < 3 + 2\sqrt{2}$일 경우 복소수 근을 갖는 특성 방정식으로 이어진다.
• $c < 3 + 2\sqrt{2}$인 경우, 수열은 경쟁비율 상한을 충족하도록 연장할 수 있으며, $c \to 3 + 2\sqrt{2}$의 극한에서 최적 비율이 도출된다.
• 결과적으로 어떤 온라인 알고리즘도 $3 - 2\sqrt{2}$보다 더 좋은 경쟁비율을 달성할 수 없으며, 이에 따라 DSC는 경쟁비율 측면에서 최적이다.