[논문 리뷰] Optimal Deferred Life Annuities to Minimize the Probability of Lifetime Ruin

Erhan Bayraktar, Virginia R. Young|ArXiv.org|2007. 03. 29.

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 투자자가 위험자산과 무위험자산에 투자하면서 연금을 유예함으로써 평생 파산 확률을 최소화할 수 있는 최적 전략을 결정한다. 핵심 발견은 개인이 연금 지급이 시작되기 이전의 모든 소비를 감당할 수 있을 정도의 충분한 자산을 확보한 경우에만 유예 연금을 구입한다는 것이다. 이는 유예 기간 동안 파산에 처할 가능성을 방지한다.

ABSTRACT

We find the minimum probability of lifetime ruin of an investor who can invest in a market with a risky and a riskless asset and can purchase a deferred annuity. Although we let the admissible set of strategies of annuity purchasing process to be increasing adapted processes, we find that the individual will not buy a deferred life annuity unless she can cover all her consumption via the annuity and have enough wealth left over to sustain her until the end of the deferral period.

연구 동기 및 목표

• 죽음 이전의 평생 자산 고갈 확률을 최소화하는 최적의 투자 및 유예 연금 구입 전략을 결정하기.
• 스토크래틱 금융 시장에서 유예 연금의 존재가 최적의 포트폴리오 할당 및 파산 회피에 미치는 영향을 분석하기.
• 위험자산과 무위험자산에 투자할 수 있는 능력이 있을 경우 개인이 유예 연금을 구입할 조건을 설정하기.
• 기존의 즉시 연금에 대한 연구를 유예 연금의 경우로 확장하여, 특히 파산 확률 최소화의 맥락에서 고려하기.
• 최적 전략이 특정 자산 수준을 초과할 경우에만 유예 연금 구입이 최적임을 보여주기.

제안 방법

• 자산이 위험자산(기하 브라운 운동)과 무위험자산(이자율 r)에 의해 진화하는 스토크래틱 제어 문제로 문제를 수립하기.
• 개인의 소비를 일정한 순율 c로 모델링하고 수명을 감수율 λ^S를 가진 지수분포 랜덤 변수로 가정하기.
• 자산 고갈 최소 확률를 자유 경계 문제의 해로 특성화하기 위해 검증 보조정리를 사용하기.
• 레지온드르 변환을 통해 파산 최소화 문제를 등가의 최적 정지 문제로 변환하기.
• 유한 차분 방법과 같은 수치 기법을 사용하여 변분부등식을 해결하고, 유예 기간 종료 시점에서 경계 조건을 정의하기.
• 가치 함수의 도함수에 기반한 위험자산에 대한 최적 투자 정책을 유도하며, 자유 경계에서의 불연속성을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 투자자가 평생 파산 확률을 최소화하기 위해 언제 유예 연금을 구입할 것인가?
• RQ2 유예 연금이 이용 가능한 경우, 위험자산과 무위험자산에 대한 최적의 투자 전략은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 유예 연금을 구입하는 데 최적의 자산 수준은 무엇인가?
• RQ4 유예 연금의 존재는 유예 기간 동안 파산을 피하기 위한 안전한 자산 수준에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최적 정지 문제로의 변환을 통해 평생 파산의 최소 확률를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 개인이 유예 연금을 구입하는 것은 자산이 특정 임계수준 w̄(A,t)에 도달했을 때만 이루어지며, 이는 연금 지급 시작 전의 모든 소비를 감당할 수 있음을 보장한다.
• 자산이 임계수준 이하일 경우, 개인은 위험자산의 수익률 잠재력을 유지하기 위해 유예 연금을 구입하지 않는다.
• 자산 수준이 임계수준 w̄(A,t)까지는 파산 최소 확률가 자산에 대해 볼록하며, 이 수준을 초과하면 0으로 떨어진다.
• 자산 수준이 임계수준 w̄(A,t)에 도달할 때, 위험자산에 대한 최적 투자 전략은 불연속적으로 변화하며, 이는 리스크 노출 전략의 전환을 반영한다.
• 수치 결과는 특히 중간 수준의 자산을 가진 투자자에게서 유예 연금이 가용할 경우 파산 확률이 낮아짐을 확인한다.
• 연금 지급일이 다가올수록 안전 자산 수준 w̄(A,t)는 감소하며, 자산이 충분할 경우에 구입의 급박성이 증가함을 나타낸다.