[논문 리뷰] Optimal Dividends for a Two-Dimensional Risk Model with Simultaneous Ruin of Both Branches

Philipp Lukas Strietzel|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 02.

Probability and Risk Models참고 문헌 19인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 한 분야에서 부채가 발생할 수 있는 두 차원의 열화된 리스크 모델에서 최적의 배당 분배를 연구한다. 이는 유동성의 범위를 R²\R²<0로 확장한다. 최적의 가치 함수가 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식을 만족하고, 성장 조건 하에서 가장 작은 점성 해임을 증명하며, 최적 전략이 일차원의 장벽 제어로 축소되는 조건을 규명한다. 몬테카를로 시뮬레이션과 명시적인 장벽 수준을 가진 수치 예제를 통해 검증된다.

ABSTRACT

We consider the optimal dividend problem in the so-called degenerate bivariate risk model under the assumption that the surplus of one branch may become negative. More specific, we solve the stochastic control problem of maximizing discounted dividends until simultaneous ruin of both branches of an insurance company by showing that the optimal value function satisfies a certain Hamilton&amp;ndash;Jacobi&amp;ndash;Bellman (HJB) equation. Further, we prove that the optimal value function is the smallest viscosity solution of said HJB equation, satisfying certain growth conditions. Under some additional assumptions, we show that the optimal strategy lies within a certain subclass of all admissible strategies and reduce the two-dimensional control problem to a one-dimensional one. The results are illustrated by a numerical example and Monte Carlo simulated value functions.

연구 동기 및 목표

• 한 분야에서 부채가 발생할 수 있는 두 차원의 열화된 리스크 모델으로 최적의 배당 문제를 확장한다.
• 최적의 가치 함수가 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 가장 작은 점성 해임 것을 특성화한다.
• 최적 전략이 장벽 전략의 부분집합에 속하게 되는 조건을 규명하여 이중 문제를 단일 변수 문제로 축소한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션과 명시적인 장벽 수준을 가진 수치 예제를 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 복합 포아송 청구와 분야 간 비례 재보험을 포함한 열화된 이변량 리스크 모델의 수식화.
• 동적 프로그래밍과 확률적 제어를 적용하여 최적 가치 함수를 지배하는 HJB 방정식 유도.
• 지정된 성장 조건 하에서 최적 가치 함수가 HJB 방정식의 가장 작은 점성 해임을 증명.
• 최적 전략이 '뱅' (장벽) 전략의 부분집합에 속하게 되는 조건을 규명하여 차원 축소를 가능하게 한다.
• 지수 분포를 가진 청구 규모를 가정한 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 가치 함수의 수치적 근사 계산.
• 이전 연구에서 도출된 해석적 해를 활용하여 교차 분야의 배당률 Λ에 대한 다양한 가정 하에 각 분야의 최적 장벽 수준 계산.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 분야에서 부채가 발생할 수 있는 두 차원 리스크 모델에서 최적의 배당 문제는 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 최적의 가치 함수는 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식을 만족하는가? 만약 그렇다면, 어떤 성질을 지닌다?
• RQ3 최적 전략이 일차원 장벽 전략으로 축소되는 조건은 무엇인가? 이는 차원 축소를 가능하게 한다.
• RQ4 수치 예제에서 각 분야의 최적 장벽 수준은 교차 분야의 배당률 Λ에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 몬테카를로 시뮬레이션은 최적 가치 함수를 정확하게 근사하고 이론적 결과를 검증하는 데에 적합한가?

주요 결과

• 적절한 성장 조건 하에서, 동시 파산을 허용하는 두 차원 리스크 모델의 최적 가치 함수는 관련 HJB 방정식의 가장 작은 점성 해로 특성화된다.
• 매개수 γ = 0.25, λ = 1, c1 = 2, c2 = 4, b1 = 0.25, b2 = 0.75, q = 0.05를 가진 수치 예제에서, 분야 1의 최적 장벽은 Λ의 값에 따라 [7.00464, 10.7136]의 구간 내에 위치한다.
• 동일한 예제에서 분야 2의 최적 장벽은 Λ의 값에 따라 [10.8148, 23.7285]의 구간 내에 위치한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션 결과, 초기 자본 (25, 25)에서 xb1 ≈ 8.0인 전략 L∗1 = (Lb1, L∗2)가 xb2 ≈ 18.35인 전략 L∗2 = (L∗1, Lb2)보다 더 높은 할인 예상 배당을 제공한다.
• 최적 전략은 모든 초기 자본 상태에서 전반적으로 열등하지 않다. 예를 들어, 예제 20에서 L∗1은 D1에서는 L∗2를 능가하지만, D2에서는 L∗2가 우월할 수 있다.
• b1 = b2 및 c1 = c2인 대칭 케이스에서는 x1 = x2 대각선 상에서 가치 함수 V∗1과 V∗2가 일치하며, 최적 성능의 대칭성을 확인한다.