[논문 리뷰] Optimal dividends problem with a terminal value for spectrally positive Levy processes

Chuancun Yin, Yuzhen Wen|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 25.

Probability and Risk Models참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 파산 시 종료 지급이 존재하는 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 대한 최적 배당 문제를 다루며, Lévy 측도의 형태에 관계없이 장벽 전략이 최적임을 보인다. 척도 함수와 변동 이론을 사용하여 가치 함수의 명시적 표현을 유도하고, 최적 장벽 수준이 척도 함수와 종료 가치 S를 포함하는 비선형 방정식을 푸는 것으로 결정됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we consider a modified version of the classical optimal dividends problem of de Finetti in which the dividend payments subject to a penalty at ruin. We assume that the risk process is modeled by a general spectrally positive Levy process before dividends are deducted. Using the fluctuation theory of spectrally positive Levy processes we give an explicit expression of the value function of a barrier strategy. Subsequently we show that a barrier strategy is the optimal strategy among all admissible ones. Our work is motivated by the recent work of Bayraktar, Kyprianou and Yamazaki (2013).

연구 동기 및 목표

• 파산 시 종료 가치가 존재하는 경우에 대해 스펙트르ально 양성 Lévy 과정으로 최적 배당 문제를 확장한다.
• 이전 모델들에서 최적성에 실패할 수 있는 바, 종료 지급 S가 도입될 경우에도 장벽 전략이 여전히 최적임을 판단한다.
• 척도 함수를 사용하여 장벽 전략 하에서의 할인 예상 배당 지급에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• 최적 장벽 수준 b*를 척도 함수와 종료 가치 S를 포함하는 방정식의 해로 특성화한다.
• Lévy 측도에 대한 일반 조건 하에서 일반적인 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 대해 장벽 전략의 최적성을 확립한다.

제안 방법

• 스펙트르ально 양성 Lévy 과정의 변동 이론을 사용하여 최초 통과 시간과 퇴출 분포를 분석한다.
• q-척도 함수 W^{(q)}와 Z^{(q)}를 사용하여 할인된 예상 배당 지급과 파산 관련 기대값을 표현한다.
• 강한 마코프 성질과 전체 확률 분해를 적용하여 가치 함수 V(b,x)를 척도 함수로 표현한다.
• 장벽 수준 b에서의 장벽 전략에 대한 가치 함수 V_b(x)를 유도하며, x ≤ b와 x > b의 경우를 구분한다.
• 최적 장벽 수준 b*를 결정하기 위해 경계 조건 V’_b(b) = 1을 도입하고, Z^{(q)}, Ψ’(0+), 및 S를 포함하는 방정식을 유도한다.
• Bayraktar, Kyprianou, 및 Yamazaki(2013)의 결과를 활용하여 일반적인 Lévy 측도 하에서 장벽 전략의 최적성을 보장함으로써, 본 확장된 설정에서도 최적성을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 Lévy 측도 하에서 파산 시 종료 지급 S가 존재할 경우에도 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 대해 장벽 전략이 여전히 최적일까?
• RQ2 종료 가치가 존재하는 장벽 전략 하에서 할인 예상 배당 지급에 대한 명시적 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ3 최적 장벽 수준 b*는 척도 함수와 종료 가치 S로 어떻게 정확히 특성화되는가?
• RQ4 종료 지급 S의 포함 여부에 따라 고전적 경우(S=0)와 비교해 가치 함수의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 값 함수 V_{b}(x)가 전체 최적 가치 함수 V(x)와 일치하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 장벽 수준 b에서의 장벽 전략 하의 가치 함수는 0 ≤ x ≤ b 에서 V_b(x) = Λ(b)Z^{(q)}(b−x) − Z̅^{(q)}(b−x) − Ψ’(0+)/q 이고, x > b 에서는 x − b + Λ(b) − Ψ’(0+)/q 이다.
• 최적 장벽 수준 b*는 방정식 ψ(b) = −Ψ’(0+)/q − S 의 해로 정의되며, 여기서 ψ(b) = Z̅^{(q)}(b) + Ψ’(0+)/q 이다.
• 만약 −Ψ’(0+)/q − S > 0 이면 b* = (Z̅^{(q)})^{-1}(−Ψ’(0+)/q − S); 그렇지 않으면 b* = 0 이다.
• −Ψ’(0+)/q − S > 0 이면 최적 가치 함수는 x ≤ b* 에서 V(x) = −Z̅^{(q)}(b*−x) − Ψ’(0+)/q 이고, x > b* 에서는 V(x) = x + S 이다.
• −Ψ’(0+)/q − S ≤ 0 이면 최적 전략은 즉시 모든 잔여 자본을 지급하는 것이며, 이 경우 V(x) = x + S 이다.
• b*에서의 장벽 전략은 확률적 제어 문제에서 최적임이 증명되었으며, 모든 x ≥ 0 에 대해 V(x) = V_{b*}(x) 이다.