[논문 리뷰] Optimal dividends with partial information and stopping of a degenerate reflecting diffusion

Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 30.

Probability and Risk Models참고 문헌 55인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 기업의 수익성에 대해 부분 정보를 가진 경우의 최적 배당 분배를 연구하며, 관리자의 드리프트에 대한 믿음을 확률적 믿음 상태로 모델링한다. 열화된 반사 확산과 새로운 확률적 접근법을 사용하여, 가치 함수가 자유 경계 문제의 매끄러운 해임을 증명하고, 학습에 따라 동적으로 조정되는 최적의 배당 전략을 구축한다. 최적 경계는 자산과 믿음 상태에 모두 의존한다.

ABSTRACT

We study the optimal dividend problem for a firm's manager who has partial information on the profitability of the firm. The problem is formulated as one of singular stochastic control with partial information on the drift of the underlying process and with absorption. In the Markovian formulation, we have a 2-dimensional degenerate diffusion, whose first component is singularly controlled and it is absorbed as it hits zero. The free boundary problem (FBP) associated to the value function of the control problem is challenging from the analytical point of view due to the interplay of degeneracy and absorption. We find a probabilistic way to show that the value function of the dividend problem is a smooth solution of the FBP and to construct an optimal dividend strategy. Our approach establishes a new link between multidimensional singular stochastic control problems with absorption and problems of optimal stopping with `creation'. One key feature of the stopping problem is that creation occurs at a state-dependent rate of the `local-time' of an auxiliary 2-dimensional reflecting diffusion.

연구 동기 및 목표

• 기업의 관리자가 수익성에 대해 완전한 정보가 없을 때 최적의 배당 분배를 모델링한다. 이는 믿음 상태로 표현된다.
• 1차원 브라운 운동의 드리프트에 대한 부분 정보와 0에서의 흡수를 포함한 특이 확률적 제어 문제를 분석한다.
• 열화성과 흡수를 포함한 도전적인 자유 경계 문제의 해로서 가치 함수의 존재성과 매끄러움을 확립한다.
• 관리자의 수익성에 대한 진전하는 믿음에 따라 동적으로 조정되는 최적의 배당 전략을 구축한다.
• 특성에 의존하는 '창출'을 통해 국소 시간이 2차원 반사 확산의 일부인 특이 제어와 최적 정지 문제를 연결한다.

제안 방법

• 문제를 첫 번째 성분에 대한 특이 제어와 0에서의 흡수를 포함한 2차원 열화된 확산으로 공식화한다.
• 관리자가 드리프트 μ에 대해 부분 정보를 가진다는 것을 표현하기 위해 믿음 과정 π ∈ (0,1)을 사용하며, 베이즈 규칙에 따라 진화한다.
• 클래식한 PDE 정규성에 의존하지 않고 가치 함수가 자유 경계 문제(FBP)를 만족함을 보이기 위해 확률적 검증 방법을 적용한다.
• 특이 제어에 흡수가 있는 문제와 국소 시간이 2차원 반사 확산의 일부인 '창출' 비율에 비례하는 최적 정지 문제 사이의 새로운 연결 고리를 도입한다.
• 값 함수를 근사하고 비정칙 해의 의미에서 HJB 방정식을 검증하기 위해 미세화와 약한 수렴 기법을 사용한다.
• 점프와 연속 성분을 포함한 이토의 공식을 사용하여 동적 프rogramming 부등식을 유도하고 전략의 최적성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기업의 수익성에 대한 부분 정보가 최적의 배당 정책에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 관리자가 드리프트에 대해 스토케스틱인 믿음을 진전시키며 시간이 지남에 따라 최적의 배당 경계는 어떤 구조를 가지는가?
• RQ3 흡수와 부분 정보를 포함한 특이 제어 문제의 가치 함수가 고전적인 PDE 정규성 가정 없이도 매끄럽다는 것을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ4 최적 제어는 특성에 의존하는 '창출'을 포함한 보조 최적 정지 문제와 어떻게 연결되는가?
• RQ5 관리자의 믿음이 확실성으로 수렴할 때(π → 0 또는 π → 1), 최적 전략의 장기적 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 열화성과 흡수에도 불구하고 가치 함수는 자유 경계 문제의 매끄러운 해임을 입증하였으며, 이는 새로운 분석적 결과이다.
• 최적의 배당 전략은 '바리어 유형'이며, 자산이 현재 믿음 π에 따라 정해진 임계값을 초과할 때에만 배당을 지급한다.
• π가 증가할수록 임계 배당 경계도 증가하며, 이는 수익성에 대한 믿음이 높아질수록 지급 임계값이 높아지는 것을 반영한다.
• π → 1일 때 최적 전략은 완전 정보 해로 수렴하고, π → 0일 때는 즉각 청산으로 수렴하여 기존 결과와의 일관성을 입증한다.
• 최적 제어는 계속 진행 영역과 배당 영역을 나누는 자유 경계로 특징지어지며, 이 경계는 π에 대해 매끄럽게 의존한다.
• 이 논문은 특이 제어에 흡수가 있는 문제와 국소 시간이 2차원 반사 확산의 일부인 최적 정지 문제 사이에 새로운 확률적 연결 고리를 확립한다.