[논문 리뷰] Optimal Download Cost of Private Information Retrieval for Arbitrary Message Length

Hua Sun, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 10.

Cryptography and Data Security참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 메시지 길이와 임의의 알파벳을 사용하는 비공개 정보 검색(PIR)에서 최적의 다운로드 비용을 확립한다. 메시지와 다운로드가 동일한 M-진 알파벳을 사용할 경우 최소 다운로드 비용은 정확히 $ \lceil L/C \rceil $이며, 서로 다른 알파벳을 사용할 경우 비용은 $ \lceil L' / C \rceil $에서 최대 2개의 기호 이내로 유지된다. 여기서 $ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $이며, $ C $는 PIR 용량이다.

ABSTRACT

A private information retrieval scheme is a mechanism that allows a user to retrieve any one out of $K$ messages from $N$ non-communicating replicated databases, each of which stores all $K$ messages, without revealing anything about the identity of the desired message index to any individual database. If the size of each message is $L$ bits and the total download required by a PIR scheme from all $N$ databases is $D$ bits, then $D$ is called the download cost and the ratio $L/D$ is called an achievable rate. For fixed $K,N\in\mathbb{N}$, the capacity of PIR, denoted by $C$, is the supremum of achievable rates over all PIR schemes and over all message sizes, and was recently shown to be $C=(1+1/N+1/N^2+\cdots+1/N^{K-1})^{-1}$. In this work, for arbitrary $K, N$, we explore the minimum download cost $D_L$ across all PIR schemes (not restricted to linear schemes) for arbitrary message lengths $L$ under arbitrary choices of alphabet (not restricted to finite fields) for the message and download symbols. If the same $M$-ary alphabet is used for the message and download symbols, then we show that the optimal download cost in $M$-ary symbols is $D_L=\lceil\frac{L}{C} ceil$. If the message symbols are in $M$-ary alphabet and the downloaded symbols are in $M'$-ary alphabet, then we show that the optimal download cost in $M'$-ary symbols, $D_L\in\left\{\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil,\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil-1,\left\lceil \frac{L'}{C} ight ceil-2 ight\}$, where $L'= \lceil L \log_{M'} M ceil$.

연구 동기 및 목표

• 비상한 근사치에 제한되지 않은 임의의 메시지 길이 $ L $에 대해 비공개 정보 검색(PIR)에서 최소 다운로드 비용을 결정하는 것.
• 이전에 $ L \to \infty $일 때만 유효했던 PIR 용량 결과를 유한하고 임의의 메시지 길이로 확장하는 것.
• 메시지와 다운로드에 서로 다른 알파벳을 사용할 경우 최적의 다운로드 비용을 규명하는 것. 유한체에 국한되지 않는다.
• 기본 알파벳의 구조에 의존하지 않는, 다운로드 비용에 대한 날카운 경계를 제공하는 것. 이는 비체 알파벳을 포함한다.
• 이전에 점근적으로만 알려졌던 용량 $ C $가 적절한 조건 하에 유한 길이 설정에서도 정확히 달성 가능하다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 정보론적 추론을 사용하여 다운로드 비용에 하한을 도출하며, 메시지가 $ M $-진이고 다운로드가 $ M' $-진일 경우 $ D \geq \left\lceil \frac{L \log_2 M}{C \log_2 M'} \right\rceil $임을 보여준다.
• 메시지를 $ M $-진에서 $ M' $-진 기호로 매핑하는 단순한 PIR 체계를 제안하며, 이는 메시지 표현의 유일성을 유지하기 위해 $ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $개의 기호를 사용한다.
• 이 체계는 $ M' $-진 알파벳에 대해 알려진 용량을 달성하는 PIR 체계를 사용하므로, $ M' $-진 기호로 표현된 다운로드 비용은 $ \lceil L' / C \rceil $이 된다.
• 이 체계의 비용과 이론적 하한 사이의 격차가 최대 2개의 기호 이내임을 증명하여 경계의 날카움을 입증한다.
• 선형 체계나 유한체에 제한하지 않고, 메시지와 다운로드에 대해 임의의 알파벳을 허용한다.
• 특히 $ N \geq 2 $일 때 $ C \geq 1/2 $임을 이용하여, 상한과 하한 사이의 격차가 최대 2개의 기호로 유한함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메시지 길이 $ L $이 점근적으로 큰 것이 아니라 유한하고 임의일 경우 PIR의 최소 다운로드 비용은 무엇인가?
• RQ2 메시지와 다운로드 알파벳의 선택이 최적의 다운로드 비용에 어떻게 영향을 미치는가? 특히 이들이 다를 경우 어떻게 되는가?
• RQ3 점근적 PIR 용량 $ C $는 유한한 메시지 길이에서도 정확히 달성 가능한가? 만약 그렇다면 어떤 조건 하에서 가능한가?
• RQ4 유한한 $ L $에 대해 달성 가능한 체계와 정보론적 하한 사이의 다운로드 비용 격차에 대해 가장 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ5 비체 알파벳(예: 소수거듭제곱 크기가 아닌 경우)을 사용할 경우 PIR 체계의 설계와 최적성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 메시지와 다운로드가 동일한 $ M $-진 알파벳을 사용할 경우 최적의 다운로드 비용은 정확히 $ D_L = \lceil L / C \rceil $이며, 여기서 $ C $는 PIR 용량이다.
• 메시지가 $ M $-진이고 다운로드가 $ M' $-진일 경우, $ M' $-진 기호로 표현된 최적의 다운로드 비용은 $ \left\{ \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil, \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil - 1, \left\lceil \frac{L'}{C} \right\rceil - 2 \right\} $ 집합에 속한다. 여기서 $ L' = \lceil L \log_{M'} M \rceil $이다.
• 달성 가능한 속도 $ L/D_L $는 자동으로 규명되며, 용량 $ C $를 초과할 수 없으며, 유도된 조건 하에 유한한 $ L $에서도 등호가 성립할 수 있다.
• 다운로드 비용의 하한은 $ \left\lceil \frac{L \log_2 M}{C \log_2 M'} \right\rceil $이며, 제안된 체계는 이 하한에서 최대 2개의 기호 이내로 비용을 달성한다.
• 직접 합 모듈로 $ M $에 의존함으로써, 이 결과는 체에 국한되지 않고 비체 알파벳으로도 확장 가능하다.
• 분석 결과 점근적 용량 $ C $는 $ L $이 $ N^K $의 배수일 경우에도 정확히 달성 가능하며, 그렇지 않은 경우에도 날카운 경계를 제공한다.