[논문 리뷰] Optimal Enumeration of Eulerian Trails in Directed Graphs

Ben Bals, Solon P. Pissis외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 13.

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한 줄 요약

이 논문은 Directed graphs에서 모든 Eulerian trail을 직접 열거하는 간단하고 시간 최적의 알고리즘을 제시하며, BEST 기반 counting 및 기존의 O(m·z_T) 접근법보다 개선됩니다.

ABSTRACT

The BEST theorem, due to de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith, and Tutte, is a classical tool from graph theory that links the Eulerian trails in a directed graph $G=(V,E)$ with the arborescences in $G$. In particular, one can use the BEST theorem to count the Eulerian trails in $G$ in polynomial time. For enumerating the Eulerian trails in $G$, one could naturally resort to first enumerating the arborescences in $G$ and then exploiting the insight of the BEST theorem to enumerate the Eulerian trails in $G$: every arborescence in $G$ corresponds to at least one Eulerian trail in $G$. Instead, we take a simple and direct approach. Our central contribution is a remarkably simple algorithm to directly enumerate the $z_T$ Eulerian trails in $G$ in the \emph{optimal} $O(m + z_T)$ time. As a consequence, our result improves on an implementation of the BEST theorem for counting Eulerian trails in $G$ when $z_T=o(n^2)$, and, in addition, it unconditionally improves the combinatorial $O(m\cdot z_T)$-time algorithm of Conte et al. [FCT 2021] for the same task. Moreover, we show that, with some care, our algorithm can be extended to enumerate Eulerian trails in directed multigraphs in optimal time, enabling applications in bioinformatics and data privacy.

연구 동기 및 목표

• Directed graphs에서 Eulerian trails를 효율적으로 열거할 필요성(BEST 정리에 의한 카운팅을 넘어서).
• 최적의 O(m + z_T) 시간 복잡도를 갖는 직접 열거 알고리즘을 설계하기 위함.
• 완전성과 올바름을 보존하면서 출력 표현을 Compact한 상태 트리로 압축하기 위함.
• 생물정보학 및 데이터 프라이버시 응용을 위해 directed multigraph에 접근 방식을 확장하기 위함.

제안 방법

• 주요 데이터 구조로서 Eulerian trails의 압축 접두 트리인 상태 트리(state tree)를 도입합니다.
• 압축된 상태 트리의 크기를 O(m + z_T)로 한정하기 위한 두 가지 압축 규칙(out-degree one contraction과 SCC 기반 규칙)을 개발합니다.
• 압축 전후의 트레일 사이의 일대일 대응을 통해 사운드함을 증명합니다.
• 프리픽스를 완전한 Hierholzer 기반 완성으로 확장하는 DFS 유사 탐색을 사용하고, 압축된 남은 그래프를 상수 시간에 업데이트합니다.
• 압축된 상태 트리가 O(m + z_T) 개의 상태만 가지므로 z 개의 트레일을 O(m + z) 시간에 열거할 수 있음을 보여줍니다.
• 수축과 교차를 신중히 다루어 directed multigraph에 알고리즘을 확장합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Directed graphs에서 Eulerian trails를 arborescences를 열거하지 않고 직접 최적 시간에 열거할 수 있는가?
• RQ2 모든 트레일의 압축 표현을 O(m + z_T) 크기로 만들 수 있는 압축 전략은 무엇인가?
• RQ3 열거 동안 남은 그래프를 선형 시간 DFS 탐 traversal를 지원하도록 어떻게 효율적으로 유지할 수 있는가?
• RQ4 최적 시간 복잡도를 유지하면서 directed multigraph에 이 접근법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• Directed graphs에서 모든 Eulerian trails를 열거하는 O(m + z_T) 시간 알고리즘(또는 z_T 개의 트레일까지 열거)이 달성됩니다.
• 모든 트레일을 나타내기에 충분한 O(m + z_T) 크기의 압축 상태 트리가 존재하며, 각 잎은 Eulerian trail에 대응합니다.
• 두 가지 압축 규칙은 비분기 영역을 의미 있게 축소하되 정확성을 잃지 않도록 보장하여 상태 전이마다 상수 시간 업데이트가 가능하게 합니다.
• 이 접근법은 z_T가 n^2에 비해 작을 때도 기존의 조합적 O(m · z_T) 시간 알고리즘 및 BEST 기반 카운팅보다 개선됩니다.
• 방법은 directed multigraph에 일반화될 수 있어 생물정보학 및 데이터 프라이버시에의 적용 가능성을 넓힙니다.