[논문 리뷰] Optimal error estimates of a second-order projection finite element method for magnetohydrodynamic equations

Cheng Wang, Jilu Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 30.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비압축성 자기유체역학(MHD) 방정식을 위한 두 번째 차수 정확도를 가지며, 비선형 항에 대해 반음성적 처리를 한 수정된 크랭크-니콜슨 스킴을 사용하는 완전 이산 유한요소 방법을 제시한다. 이 방법은 분리된 반-칸 유형의 투과성 스토크스 해법을 활용하여 무조건적인 에너지 안정성과 속도 및 자기장에 대해 이산 $L^\infty(0,T;L^2)$ 노름에서 최적의 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^{r+1})$ 오차 추정치를 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze a temporally second-order accurate, fully discrete finite element method for the magnetohydrodynamic (MHD) equations. A modified Crank--Nicolson method is used to discretize the model and appropriate semi-implicit treatments are applied to the fluid convection term and two coupling terms. These semi-implicit approximations result in a linear system with variable coefficients for which the unique solvability can be proved theoretically. In addition, we use a decoupling projection method of the Van Kan type \cite{vankan1986} in the Stokes solver, which computes the intermediate velocity field based on the gradient of the pressure from the previous time level, and enforces the incompressibility constraint via the Helmholtz decomposition of the intermediate velocity field. The energy stability of the scheme is theoretically proved, in which the decoupled Stokes solver needs to be analyzed in details. Optimal-order convergence of $\mathcal{O} (τ^2+h^{r+1})$ in the discrete $L^\infty(0,T;L^2)$ norm is proved for the proposed decoupled projection finite element scheme, where $τ$ and $h$ are the time stepsize and spatial mesh size, respectively, and $r$ is the degree of the finite elements. Existing error estimates of second-order projection methods of the Van Kan type \cite{vankan1986} were only established in the discrete $L^2(0,T;L^2)$ norm for the Navier--Stokes equations. Numerical examples are provided to illustrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 MHD 방정식을 위한 시간적으로 두 번째 차수 정확도를 가지며, 계산 효율성이 향상된 완전 이산 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 결합된 비선형 MHD 시스템을 해결하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해, 계산 비용을 감소시키는 분리된 투과성 방법을 도입하기 위해.
• 실제 정규성 조건 하에서 제안된 스킴에 대한 엄밀한 이론적 수렴성과 에너지 안정성을 확립하기 위해.
• 기존의 오차 추정치가 $L^2(0,T;L^2)$ 노름으로 국한되어 있던 투과성 방법의 결과를 더 강력한 $L^\infty(0,T;L^2)$ 노름으로 확장하기 위해.
• 이론적 결과를 수치 실험을 통해 검증하여 최적의 수렴 속도와 에너지 소산을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시간 이산화를 위해 수정된 크랭크-니콜슨 스킴이 적용되어 시간에 대해 두 번째 차수 정확도를 확보한다.
• 유체 대류 및 결합 항에 대해 반음성적 근사가 사용되어 시스템을 선형화하면서도 안정성을 유지한다.
• 스토크스 해법에서 반-칸 유형의 분리된 투과성 방법이 사용되며, 이는 이전 시간 단계의 압력 기울기를 사용하여 중간 속도장을 계산한다.
• 비압축성 조건은 중간 속도장의 헬름홀츠 분해를 통해 강제로 구현되어 속도장과 압력장을 별도로 효율적으로 해석할 수 있게 한다.
• 변수 계수를 가진 선형 시스템이 동반된 문제의 동차 문제 분석을 통해 유일한 해가 존재함을 증명한다.
• 속도 및 자기장에 대해 $r$차수 유한요소 공간을, 압력에 대해 $r-1$차수 유한요소 공간을 사용하여 공간 이산화를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 MHD 방정식을 위한 두 번째 차수 정확도를 가지며, 안정성과 최적 수렴성을 보장하는 완전 이산 유한요소 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비선형성과 결합성으로 인해 복잡한 MHD 시스템을 효율적으로 다룰 수 있는 방법은 무엇이며, 이때 시간에 대해 두 번째 차수 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ3 스토크스 해법이 무조건적인 에너지 안정성과 계산 효율성을 유지할 수 있도록 분리된 투과성 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ4 이러한 분리된 스킴에 대해 더 강력한 $L^\infty(0,T;L^2)$ 노름에서 최적의 오차 추정치를 도출할 수 있는가, 기존의 더 약한 $L^2(0,T;L^2)$ 노름이 아닌가?
• RQ5 이 스킴의 시간 및 공간 수렴 속도는 얼마이며, 이는 이론적 예측과 일치하는가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 속도 및 자기장 근사에 대해 이산 $L^\infty(0,T;L^2)$ 노름에서 최적의 수렴 차수 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^{r+1})$를 달성한다.
• 수치 실험을 통해 $\tau = 1/10, 1/20, 1/40, 1/80$ 일 때 시간에 대해 두 번째 차수 수렴이 확인되었으며, 시간 수렴 차수는 약 2.01, 2.06, 2.03을 기록한다.
• 이차 유한요소($r=2$)를 사용할 경우 공간 수렴 속도가 약 3.0로 관측되어 예측된 $h^{r+1}$ 속도와 일치한다.
• 시스템의 에너지가 시간에 따라 단조롭게 감소하는 것으로 관측되어, 정리 2.6에서 증명된 무조건적인 에너지 안정성이 확인된다.
• 분리된 스토크스 해법은 매 시간 단계에서 비대칭 선형 시스템을 풀 필요 없이 효율적인 해법을 가능하게 한다.
• 이론적 분석을 통해 변수 계수를 가진 선형 시스템의 유일한 해 존재성을 확인하였으며, 이는 동차 문제의 해가 자명해지기 때문이다.