[논문 리뷰] Optimal growth of frequently hypercyclic entire functions

David Drasin, Eero Saksman|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 02.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미분 연산자 하에서 빈번히 초월적인 성질을 갖는 전체 함수를 구성하며, 최적의 성장률을 달성한다. 즉, 임의의 $ c>0 $에 대해 $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $를 만족하며, 이는 더 이상 향상될 수 없는 최선의 비율이다. 구성 과정에서는 루딘-셰이프보 및 데 라 발레-푸신 다항식, 열핵 추정, 블록 분해 기법을 활용하여 성장률을 제어하고 빈번한 보편성을 확보한다.

ABSTRACT

We solve a problem posed by A. Bonilla and K.-G. Grosse-Erdmann by constructing an entire function $f$ that is frequently hypercyclic with respect to the differentiation operator, and satisfies $M_f(r)\leq\displaystyle ce^r r^{-1/4}$, where $c>0$ be chosen arbirarily small. The obtained growth rate is sharp. We also obtain optimal results for the growth when measured in terms of average $L^p$-norms. Among other things, the proof applies Rudin-Shapiro polynomials and heat kernel estimates.

연구 동기 및 목표

• 미분 연산자 하에서 빈번히 초월적인 전체 함수의 최소 가능한 성장률에 대한 봉고니아와 그로스-에르담이 제기한 문제를 해결하기 위해.
• 최대 모odulus $ M_f(r) $와 $ L^p $-노름을 바탕으로 이러한 함수의 성장률에 대한 날카운 상한을 수립하기 위해.
• 이전에 알려진 상한이 최적이 아니며, 최상의 가능성을 달성하는 예시를 구성하기 위해.
• 특히 $ p=\infty $, $ p \in [2,\infty] $, $ p \in (1,2] $의 임계 경우를 구분하여, 다양한 $ L^p $-노름에서의 성장률 결과를 통합하고 확장하기 위해.

제안 방법

• 각 블록 $ f_k = \sum_{n \in \mathcal{A}_k} P_n f $로 구성된 무한합으로 전체 함수 $ f $를 구성하며, 각 $ P_n f $는 지지 집합과 계수를 제어한 다항식이다.
• $ p \in [2,\infty] $의 경우 루딘-셰이프 다항식을, $ p \in (1,2] $의 경우 데 라 발레-푸신 다항식을 사용하여, $ L^p $-노름 성질과 최소한의 상한 노름을 활용한다.
• 각 블록 $ P_n f $의 최대 모odulus를 제한하기 위해 열핵 추정과 하루드의 세 원정리(Three circles theorem)를 적용하여 $ r $에 대한 감쇠를 확보한다.
• 블록 간의 간격을 매개변수 $ \alpha_k $로 조절하여 $ f $의 성장률을 제어하고, 간섭을 방지하고 독립성을 유지한다.
• 하우스도르프-영 부등식과 스타링의 공식을 활용해 $ M_{f,p}(r) $의 하한을 도출하여, 구성된 성장률의 최적성 증명한다.
• $ L^1 $-노름의 경우, 최적성 조건 $ \limsup_{r\to\infty} r^{1/2} e^{-r} M_{f,1}(r) = \infty $를 만족시키기 위해 $ \phi(r) \to \infty $인 천천히 증가하는 인자를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분 연산자 하에서 빈번히 초월적인 전체 함수의 성장률 중 가장 느린 것은 무엇인가?
• RQ2 기존에 알려진 성장 상한, 예를 들어 $ M_f(r) \leq e^r \phi(r) r^{-1/4} $와 같은 것들을 $ \phi(r) $ 인자를 제거하고 개선할 수 있는가?
• RQ3 성장률의 최적값은 $ p \in (1,\infty] $에서 $ L^p $-노름의 선택에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 성장률 $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $는 임의의 $ c>0 $에 대해 최적이며, 이는 단일 전체 함수로 달성 가능한가?
• RQ5 클래식한 다항식인 루딘-셰이프 및 데 라 발레-푸신 다항식은 이러한 최적 성장률을 갖는 함수를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $ c>0 $에 대해, 모든 $ r>0 $에서 $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $를 만족하는 $ D $-빈번히 초월적인 전체 함수 $ f $가 존재하며, 이 상한은 최적이다.
• 성장률 $ M_f(r) \leq c e^r r^{-1/4} $는 최적이며, 모든 이러한 함수는 $ \limsup_{r\to\infty} r^{1/4} e^{-r} M_f(r) > 0 $를 만족한다.
• $ p \in (1,2] $의 경우 최적 성장률은 $ M_{f,p}(r) \leq c e^r r^{-1/(2p)} $이며, $ p \in [2,\infty] $의 경우 $ M_{f,p}(r) \leq c e^r r^{-1/4} $이며, 둘 다 최적이다.
• $ L^1 $-노름의 경우 최적 성장률은 임의의 $ \phi(r) \to \infty $에 대해 $ M_{f,1}(r) \leq \phi(r) e^r r^{-1/2} $이며, 이는 $ \limsup_{r\to\infty} r^{1/2} e^{-r} M_{f,1}(r) = \infty $ 이므로 최적이다.
• 구성된 함수는 $ r>1 $에서 $ M_{f,p}(r) \asymp e^r r^{-\max(1/(2p), 1/4)} $를 만족하며, 감쇠 비율의 최적성 확인된다.
• 각 블록 $ P_n f $가 철저히 분리된 간격으로 배열된 블록 구조는 독립성을 유지하고 하루드의 세 원정리를 성장 추정에 활용하기 위해 필수적이다.