[논문 리뷰] Optimal H2 moment matching-based model reduction for linear systems by (non)convex optimization

Ion Necoara, Tudor C. Ionescu|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 18.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 시스템에 대한 최적의 H₂ 모멘트 매칭 기반 축소된 순서 모델을 계산하기 위해 비볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 이는 경사 기반 방법과 볼록 준선형계획법(SDP) 리 릴랙션을 통해 근사 오차의 H₂-노름을 동시 최소화함으로써 달성된다. 주요 기여는 오차 시스템의 그람형(matrix)을 통한 1차 최적성 조건 유도로, 수렴 보장이 되는 알고리즘을 가능하게 하여 고정된 대체점 방법보다 오차 감소에서 뛰어난 성능을 보이며, 더블 펜듈럼 및 CD 플레이어 모델과 같은 벤치마크 시스템에서 이를 입증하였다.

ABSTRACT

In this paper we compute families of reduced order models that match a prescribed set of moments of a highly dimensional linear time-invariant system. First, we fully parametrize the models in the interpolation points and in the free parameters, and then we fix the set of interpolation points and parametrize the models only in the free parameters. Based on these two parametrizations and using as objective function the H2-norm of the error approximation we derive non-convex optimization problems, i.e., we search for the optimal free parameters and even the interpolation points to determine the approximation model yielding the minimal H2-norm error. Further, we provide the necessary first-order optimality conditions for these optimization problems given explicitly in terms of the controllability and the observability Gramians of a minimal realization of the error system. Using the optimality conditions, we propose gradient type methods for solving the corresponding optimization problems, with mathematical guarantees on their convergence. We also derive convex SDP relaxations for these problems and analyze when the convex relaxations are exact. We illustrate numerically the efficiency of our results on several test examples.

연구 동기 및 목표

• 선형 시간 불변 시스템에 대해 모멘트 매칭을 이용한 최적의 H₂-노름 모델 축소 프레임워크를 개발한다.
• 기존 모멘트 매칭 기법에서의 고정 대체점의 한계를 해결하기 위해 자유 매개변수와 대체점 모두를 최적화한다.
• 모멘트 매칭 가족 내에서 H₂-오차 최소화를 위한 1차 최적성 조건을 유도한다.
• 수렴 보장이 되는 경사 유형 알고리즘과 볼록 SDP 리 릴랙션을 제안하여 전역 최적성 분석을 수행한다.
• 표준 벤치마크 시스템에서 수치적으로 방법을 검증하여 H₂-오차 감소를 확보한다.

제안 방법

• 축소된 순서 모델을 대체점과 자유 매개변수로 매개변수화한 후, 대체점을 고정하고 자유 매개변수만 최적화한다.
• 전달함수와 그 모멘트를 사용하여 오차 시스템의 H₂-노름을 최소화하는 비볼록 최적화 문제를 설정한다.
• 오차 시스템의 최소 실현의 제어 가능성 및 관측 가능성 그람형(matrix)을 이용해 명시적인 1차 최적성 조건을 도출한다.
• 이론적 수렴 보장을 갖는 경사 유형 알고리즘을 제안하여 최적화 문제를 해결한다.
• 비볼록 문제를 근사하고 전역 최소값을 분석하기 위해 볼록 SDP 리 릴랙션을 개발한다.
• 고정 및 자유 대체점 설정 모두에 적용하며, 최적화를 통한 대체점의 반복 정밀화를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모멘트 매칭 기반 모델 축소에서 대체점과 자유 매개변수를 동시에 최적화하여 오차의 H₂-노름을 최소화할 수 있는가?
• RQ2 모멘트 매칭 축소된 순서 모델의 가족 내에서 H₂-오차 최소화를 위한 1차 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 비볼록 H₂-최적화 문제에서 수렴 보장이 되는 경사 기반 방법은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 비볼록 문제의 볼록 SDP 리 릴랙션이 정확해지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 표준 벤치마크 시스템에서 제안된 방법은 고정 대체점 방법에 비해 H₂-오차 성능에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 0에서 두 개의 모멘트를 매칭하는 고정 대체점 모델 대비 H₂-오차를 99.5% 감소시켰으며, 오차는 1.86×10⁻¹에서 0.6232×10⁻⁴로 감소하였다.
• 대체점을 최적화함으로써 (예: 0.0109±0.0946j) 고정된 점(예: 0)보다 훨씬 낮은 H₂-오차를 달성함으로써 자유점 최적화의 이점이 입증되었다.
• 경사 기반 알고리즘이 안정된 축소된 순서 모델로 수렴하며, σ(F) = −0.1624±0.5422로 안정성을 확보하면서 H₂ 오차를 최소화한다.
• SDP 리 릴랙션은 전역 최소값에 대한 날카운 경계를 제공하며, 특정 구조적 조건 하에서 정확성이 분석적으로 규명되었다.
• CD 플레이어 시스템(120개 상태)의 경우, 희소하고 저주파 대체점 사용 시 ν=10에서 밀도 있는 대체점보다 낮은 H₂-오차를 달성하였다.
• 이 방법은 안정성과 모멘트 매칭을 유지하면서 오차의 H₂-노름을 최소화하여, 오차 지표에서 표준 모멘트 매칭 및 균형 절단 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.