[논문 리뷰] Optimal immunity control by social distancing for the SIR epidemic model

Pierre‐Alexandre Bliman, Michel Duprez외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 10.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 SIR 전염병 모델에 대한 최적 제어 문제를 수립하고 해결하여, 무한 시간 동안 감염 부담을 최소화하고자 하는 최적의 사회적 거리두기 전략—특히 봉쇄 조치의 시기와 강도—을 결정함으로써 감염 가능 인구 수를 최대화한다. 최적 제어의 존재성과 유일성을 증명하고, 프랑스 2020년 봉쇄 조건 하에서 이러한 전략이 통제되지 않은 전파에 비해 최종 감염 가능 비율을 최대 30% 높일 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Until a vaccine or therapy is found against the SARS-CoV-2 coronavirus, reaching herd immunity appears to be the only mid-term option. However, if the number of infected individuals decreases and eventually fades only beyond this threshold, a significant proportion of susceptible may still be infected until the epidemic is over. A containment strategy is likely the best policy in the worst case where no vaccine or therapy is found. In order to keep the number of newly infected persons to a minimum, a possible strategy is to apply strict containment measures, so that the number of susceptible individuals remains close to herd immunity. Such an action is unrealistic since containment can only last for a finite amount of time and is never total. In this article, using a classical SIR model, we determine the (partial or total) containment strategy on a given finite time interval that maximizes the number of susceptible individuals over an infinite horizon, or equivalently that minimizes the total infection burden during the curse of the epidemic. The existence and uniqueness of the optimal strategy is proved and the latter is fully characterized. If applicable in practice, such a strategy would lead theoretically to an increase by 30% of the proportion of susceptible on an infinite horizon, for a containment level corresponding to the sanitary measures put in place in France from March to May 2020. We also analyze the minimum intervention time to reach a fixed distance from herd immunity, and show the relationship with the previous problem. Simulations are provided that illustrate and validate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 전염병 기간 동안 총 감염 부담을 최소화하는 최적의 사회적 거리두기 정책을 도출하는 것.
• 무한 시간 동안의 최종 감염 가능 인구 수를 최대화함으로써 누적 감염 수를 최소화하는 것과 동치인 것.
• 유한한 간섭 창구 내에서 SIR 모델의 최적 제어 전략(봉쇄 조치의 시기와 강도)을 특성화하는 것.
• 목표로 하는 군집 면역 임계치에 도달하기 위한 최소 시간을 분석하는 것.
• 최적 제어 문제의 이론적 결과를 수치 시뮬레이션을 통해 검증하는 것.

제안 방법

• 사회적 거리두기(u3), 백신 접종(u1), 격리(u2)를 나타내는 제어 입력을 포함한 수정된 SIR 모델을 수립한다.
• 두 가지 최적 제어 문제를 도입한다: (Pα,T)는 시간 T에서 감염 가능 인구 수를 최대화하고, (ePα,T)는 무한 시간 동안 감염 부담을 최소화하는 것.
• 포트리아긴의 최대원리(Pontryagin's Maximum Principle)를 사용하여 최적성의 필요 조건을 유도하고, 최적 제어를 번갈아 제어 또는 특이 제어로 특성화한다.
• 이분법 기반의 수치 알고리즘을 활용하여 최적 제어 문제를 해결하고 최적 간섭 시점 T*0를 계산한다.
• 보존 법칙 S + I - (ν/β)ln S = 상수를 사용하여 점점 감소하는 감염 가능 비율 S∞에 대한 해석적 공식을 유도한다.
• 장기간의 시간 범위(최대 200일)에 걸친 수치 시뮬레이션을 통해 결과를 검증하고, 최적 및 비최적 궤적을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전염병 기간 동안 감염 총 수를 최소화하는 최적의 사회적 거리두기 전략은 무엇인가?
• RQ2 유한 지속 기간의 봉쇄 조치를 통해 최종 감염 가능 인구 수를 어떻게 최대화할 수 있는가?
• RQ3 감염 가능 인구를 군집 면역 임계치에 고정된 거리 이내로 끌고 오기 위한 최소 간섭 기간은 얼마인가?
• RQ4 최적 제어 전략은 사회적 거리두기 강도(제어 파라미터 α)에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이론적 최적 제어는 수치적으로 근사화되고 시뮬레이션을 통해 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 최적 제어 전략은 무한 시간 동안 감염 가능 인구를 군집 면역 임계치(Sherd = ν/β)에 가능한 한 가깝게 유지하는 번갈아 제어 또는 특이 제어이다.
• 프랑스 2020년 봉쇄 강도(α ≈ 0.231) 조건 하에서 최적 전략은 통제되지 않은 전파에 비해 최종 감염 가능 비율을 약 30% 높일 수 있다.
• 최적 제어 문제는 유일한 해를 가지며, 최적 간섭 시점 T*0는 감염 부담 함수 jΦ의 단모양 행동에 의해 특성화된다.
• 제어 강도 α가 충분히 낮을 경우(α ≈ 0.56), 무한 시간 동안 감염 가능 인구는 군집 면역 임계치(Sherd)에 임의로 가까이 다가갈 수 있다.
• 충분히 큰 T에 대해 α가 너무 높을 경우(봉쇄가 부족할 경우), 최적 제어는 간섭이 필요 없다는 것을 의미하며(T*0 = 0), 이는 전염병이 의미적으로 통제될 수 없음을 시사한다.
• 수치 시뮬레이션은 (Pα,T)와 (ePα,T)의 최적 궤적이 일치하고 이론적 예측과 일치함을 확인하여 분석 프레임워크의 타당성을 검증한다.