[논문 리뷰] Optimal Investment in a Dual Risk Model

Arash Fahim, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 16.

Probability and Risk Models참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고도로 기술적인 기업이나 벤처 캐피탈 기업의 파산 확률을 최소화하기 위해 이중 위험 모델에서 최적의 연구개발(R&D) 투자 전략을 제안한다. R&D 투자를 손익 과정의 추세와 점프 강도에 영향을 주는 제어 변수로 모델링함으로써, 상태에 의존하는 동역학 하에서 최소 파산 확률에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출하였으며, 자산이 임계 임계값을 초과할 경우 최적의 R&D 투자가 파산 확률의 지수 감소를 이끌 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Dual risk models are popular for modeling a venture capital or high tech company, for which the running cost is deterministic and the profits arrive stochastically over time. Most of the existing literature on dual risk models concentrated on the optimal dividend strategies. In this paper, we propose to study the optimal investment strategy on research and development for the dual risk models to minimize the ruin probability of the underlying company. We will also study the optimization problem when in addition the investment in a risky asset is allowed.

연구 동기 및 목표

• 기존에 배당 전략에만 집중하는 이중 위험 모델에서 R&D 투자 최적화에 관한 연구가 부족한 점을 보완하기 위해.
• R&D 투자 증가가 기업의 운영 비용과 수익 도래 강도에 어떻게 영향을 주는지 모델링하여 파산 위험에 영향을 미치는 방식을 분석하기 위해.
• 고도로 기술적인 기업이나 벤처 캐피탈 기업의 궁극적 파산 확률을 최소화하는 최적의 R&D 투자 전략을 도출하기 위해.
• 이중 위험 모델을 확장하여 R&D 투자가 손익 과정의 추세와 점프 강도를 모두 변화시키는 상태에 의존하는 동역학을 포함하기 위해.
• 최적의 R&D 투자 하에서 최소 파산 확률에 대한 명시적인 해석적 표현식을 제공하여 전략적 결정의 정량적 평가를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 논문은 현재 자산과 R&D 투자 수준에 따라 운영 비용과 수익 도래 강도가 달라지는 상태에 의존하는 이중 위험 모델을 수립한다.
• R&D 투자를 손익 과정의 추세와 점프 강도에 영향을 주는 제어 변수로 모델링하며, 이는 파산 확률에 대한 상충 관계를 초래한다.
• 스토하스틱 제어 이론을 사용하여 파산 확률의 가치 함수에 대한 해밀턴-자코비-벨리만(Hamilton-Jacobi-Bellman, HJB) 방정식을 풀어 최적의 투자 전략을 유도한다.
• 후보 최적 제어를 구성하고 검증 정리에 의해 이를 검증함으로써 최소 파산 확률에 대한 명시적 표현식을 도출한다.
• γ = 1인 경우 최적 전략은 번개-번개(bang-bang) 전략이 된다: 자산이 임계 임계값 x* 이하일 경우 투자 없이, x* 초과일 경우 무한 투자.
• 변형 베셀 함수와 보완 오차 함수(erfc)를 포함하는 적분을 사용하여, 특히 지수 분포 및 거듭제곱 법칙 점프 크기 분포에 대해 최소 파산 확률에 대한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태에 의존하는 동역학을 갖는 이중 위험 모델에서 파산 확률을 최소화하는 최적의 R&D 투자 수준은 무엇인가?
• RQ2 최적의 R&D 투자 전략은 수익 도래 강도와 비용율과 같은 모델 매개변수 외에도 초기 자산에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 R&D 투자가 최적으로 선택되었을 경우 최소 파산 확률의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ4 최적의 R&D 투자가 초기 자산이 증가함에 따라 파산 확률의 감소 속도를 빠르게 하는가(지수 감소 대 다항 감소)?
• RQ5 어떤 조건에서 R&D에 크게 투자하는 것이 최적이며, 언제는 투자하지 않는 것이 더 바람직한가?

주요 결과

• 최적의 R&D 투자 하에서 최소 파산 확률은 자산이 임계 임계값 x*를 초과할 경우 초기 자산에 대해 지수 감소를 보이며, 자산이 x* 이하일 경우 다항 감소를 보인다.
• γ = 1인 경우 최적 전략은 번개-번개 전략이 된다: 자산 x ≤ x*일 경우 투자 없음, x > x*일 경우 무한 투자이며, 이때 x* = (λ₀ − δ₀ + ν)/(δ₀ − ν)이다.
• 최소 파산 확률에 대한 닫힌 형태의 표현식은 변형 베셀 함수와 보완 오차 함수를 포함하는 적분의 비율로 주어지며, 모델 매개변수에 명시적인 의존성을 갖는다.
• R&D 투자를 하지 않을 경우(C₀ = 0), 파산 확률은 다항 감소하며, 식 (5.8)에 의해 0과 1 사이에 엄격히 존재한다.
• 수치적 예시는 최적의 R&D 투자가 특히 높은 초기 자산에서 파산 확률을 크게 감소시킴을 확인하며, 빨간 점선 곡선(최적)이 파란 곡선(투자 없음)보다 훨씬 아래에 위치한다.
• 모델은 상태에 의존하는 매개변수에 따라 파산 확률이 초지수적, 지수적 또는 초초지수적으로 감소하는 특성을 보이며, 초기 자산에 대한 파산 확률의 볼록성 가정을 도전한다.