[논문 리뷰] Optimal joint measurement of two observables of a qubit

Sixia Yu, Changhun Oh|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 16.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 큐비트의 상호작용이 불가능한 두 관측량을 동시 측정할 때 발생하는 최악의 오차 사이의 정확한 무역관계를 제공하며, 모든 실현 가능한 오차 쌍에 대한 완전한 특성화를 도출한다. 유인자 없는 최적의 동시 측정을 구성하여 유도된 경계에 도달함으로써, 오차의 비대칭성이 임의로 설정된 큐비트 관측량에 대해 날카롭고 상태에 종속되지 않는 불확도 관계를 제시한다.

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty relations for measurement quantify how well we can jointly measure two complementary observables and have attracted much experimental and theoretical attention recently. Here we provide an exact tradeoff between the worst-case errors in measuring jointly two observables of a qubit, i.e., all the allowed and forbidden pairs of errors, especially asymmetric ones, are exactly pinpointed. For each pair of optimal errors we provide an optimal joint measurement that is realizable without introducing any ancilla and entanglement. Possible experimental implementations are discussed and Toronto experiment [Rozema et al., Phys. Rev. Lett. 109, 100404 (2012)] can be readily adapted to an optimal joint measurement of two orthogonal observables.

연구 동기 및 목표

• 큐비트의 두 상호작용이 불가능한 관측량을 동시에 측정할 때 발생하는 모든 가능한 오차 쌍과 금지된 오차 쌍의 완전한 집합을 규명하는 것.
• 유인자 시스템이나 entanglement를 요구하지 않고도 이러한 최소 오차를 실현하는 명시적인 최적의 동시 측정을 구성하는 것.
• 이전의 경계를 일반화하고 특히 비대칭 오차 쌍에 대해 적용 가능한 날카운, 상태에 종속되지 않는 불확도 관계를 제공하는 것.
• 기존의 실험적 테스트(예: 토리onto 실험)를 직접적으로 변형하여 정확한 오차 무역관계를 검증할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 모든 입력 상태에 걸쳐 날카운 측정과 부정확한 측정의 확률 분포 간의 최대 트레이스 거리로 최악의 오차를 정의한다.
• 그들은 네 개의 결과를 가진 양의 연산자 측정(POVM)을 통해 동시 측정을 모델링하며, 이들의 근사값은 A와 B에 대한 부정확한 관측량을 정의한다.
• 기하 최적화를 통해 최적성 조건을 도출하며, 벡터 $\vec{a}-\vec{m}$ 과 $\vec{b}-\vec{n}$ 이 동시 측정 제약 조건에 의해 정의된 타원체에 탄젠트가 되도록 요구한다.
• 접선 조건에서 유도된 연립방정식을 풀어, 매개변수 $\varphi$ 와 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 사이의 각 $\theta$ 를 포함한 매개변수 형태로 최적의 오차 무역관계 곡선을 유도한다.
• 해결 과정을 통해 $\mathcal{E}_a$ 와 $\mathcal{E}_b$ 의 표현식을 $\theta$, $\varphi$, 그리고 내적 $C = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 에 대해 유도하며, 최소화를 위해 $\mu = \nu = 1$ 을 선택한다.
• 오차 무역관계 곡선은 모든 $\varphi \in [0, \pi/2]$ 에 대해 선형 경계의 집합 $\epsilon_a \sin\varphi + \epsilon_b \cos\varphi \geq \sqrt{1 + \sin\theta \sin 2\varphi} - 1$ 의 포락선임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 상호작용이 불가능한 큐비트 관측량을 동시에 측정할 때 발생하는 최악의 오차 쌍의 정확한 집합은 무엇인가?
• RQ2 유인자나 얽힘 없이도 오차 무역관계 경계에 도달하는 최적의 동시 측정을 구성할 수 있는가?
• RQ3 비대칭 오차 조건 하에서 오차 무역관계는 어떻게 행동하며, 한 관측량의 오차를 최소로 할 때 다른 관측량의 최소 실현 가능한 오차는 무엇인가?
• RQ4 유도된 무역관계 곡선은 가능한 한 가장 날카로운가? 그리고 이는 이전의 경계(예: BLW 합 경계)를 일반화하는가?
• RQ5 기존의 실험적 설정(예: 토리onto 실험)을 직접적으로 변형하여 정확한 오차 무역관계를 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 두 큐비트 관측량 $A = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ 와 $B = \vec{b} \cdot \vec{\sigma}$ 를 측정할 때 최악의 오차 $\mathcal{E}_a$ 와 $\mathcal{E}_b$ 사이의 정확한 무역관계는 매개변수 곡선 $\mathcal{E}_a = \sqrt{1 - C^2 \cos^2\varphi} - \sin\varphi$, $\mathcal{E}_b = \sqrt{1 - C^2 \sin^2\varphi} - \cos\varphi$ 로 주어지며, 여기서 $C = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 이고 $\theta = \angle(\vec{a}, \vec{b})$ 이다.
• 최적의 오차 쌍은 $\mu = \nu = 1$ 일 때 도달되며, 이는 두 관측량에 대해 가능한 최소 오차를 보장한다.
• 오차 무역관계 곡선은 모든 $\varphi \in [0, \pi/2]$ 에 대해 선형 경계의 집합 $\epsilon_a \sin\varphi + \epsilon_b \cos\varphi \geq \sqrt{1 + \sin\theta \sin 2\varphi} - 1$ 의 포락선이며, 이는 $\varphi = \pi/4$ 에서 BLW 합 경계를 일반화한다.
• 수직 관측량의 경우($\theta = \pi/2$), 한 관측량이 오차 없이 측정되면 다른 관측량의 최소 오차는 $\sin\theta = 1$ 이며, 최적의 오차 쌍은 $\mathcal{E}_a^2 + \mathcal{E}_b^2 = 2 - 2\sqrt{1 - \mathcal{E}_a^2\mathcal{E}_b^2}$ 로 정의된 곡선 위에 위치한다.
• 최적의 동시 측정은 유인자 없이도 POVM을 통해 실현 가능하므로 실험적으로 구현 가능하다.
• 최악의 오차 $\mathcal{E}_a = |x| + |\vec{a} - \vec{m}|$ 와 $\mathcal{E}_b = |y| + |\vec{b} - \vec{n}|$ 는 상태에 종속되지 않으며 측정 장치의 본질적 정밀도를 완전히 특성화한다.