[논문 리뷰] Optimal Label Splitting for Embedding an LTS into an arbitrary Petri Net Reachability Graph is NP-complete

Uli Schlachter, Harro Wimmel|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 12.

Petri Nets in System Modeling참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 레이블 분할을 통해 레이블이 부여된 전이 시스템(LTS)을 페트리 네트워크 도달 가능성 그래프에 통합할 때, 서로 다른 레이블의 수를 최소화하는 최적의 레이블 분할을 찾는 것이 NP-완전임을 증명한다. 레이블 분할을 통한 통합은 항상 가능하지만, 레이블 수를 최소화하면 다항식 시간 내에 해결 가능한 문제가 NP-완전 문제가 되며, 이는 페트리 네트워크를 위한 행동 모델 합성에서 근본적인 복잡도 상충관계를 드러낸다.

ABSTRACT

For a given labelled transition system (LTS), synthesis is the task to find an unlabelled Petri net with an isomorphic reachability graph. Even when just demanding an embedding into a reachability graph instead of an isomorphism, a solution is not guaranteed. In such a case, label splitting is an option, i.e. relabelling edges of the LTS such that differently labelled edges remain different. With an appropriate label splitting, we can always obtain a solution for the synthesis or embedding problem. Using the label splitting, we can construct a labelled Petri net with the intended bahaviour (e.g. embedding the given LTS in its reachability graph). As the labelled Petri net can have a large number of transitions, an optimisation may be desired, limiting the number of labels produced by the label splitting. We show that such a limitation will turn the problem from being solvable in polynomial time into an NP-complete problem.

연구 동기 및 목표

• 레이블 분할을 통해 LTS를 페트리 네트워크 도달 가능성 그래프에 통합할 때 도입되는 레이블 수를 최소화하는 문제의 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 레이블 분할에서 레이블 수를 제한할 경우, 표준 통합 문제보다 계산 복잡도가 증가하는지 여부를 판단하는 것.
• 정확한 이somorphism이 아닌 통합을 允허함으로써 과잉 근사(over-approximation)를 허용하더라도, 최적의 레이블 분할 문제의 NP-완전성 결과가 유지되는지 확인하는 것.
• NP-완전성의 증명을 위해 부분합 문제에서의 다항식 시간 축약을 제공하는 것.

제안 방법

• 부분합 문제를 기반으로 한 코어 구조와 보조 스트랜드를 포함하는 6개의 구조적 구성요소를 가진 일반적인 LTS를 구성하는 것.
• 마킹 변화(영역 값)를 사용하여 상태 분리 문제-SSP-의 해법을 모델링하는 영역 기반 제약 조건을 정의하는 것.
• 부분합 문제에서의 다항식 시간 축약을 통해 NP-난이도를 증명하는 것. 여기서 SSP의 해법 가능성은 유효한 부분합 해답에 대응한다.
• 모든 유효한 레이블 분할 중에서 최대 q = 2n + k + 11개의 레이블을 사용할 경우, 각 γi 쌍에서 정확히 한 개의 레이블만 재할당해야 하며, 이는 부분합 제약 조건을 반영한다.
• 모든 상태 분리 문제(SSP)의 해법 가능성을 확인하는 방식으로 후보 레이블 분할을 다항식 시간 내에 검증할 수 있음을 보여, NP에 속함을 증명하는 것.
• 영역 이론을 활용하여 도달 가능성 그래프의 통합 존재성과 모든 상태 분리 문제(SSP)의 해법 가능성 간의 등가성을 공식화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레이블 수를 최소화하는 레이블 분할을 찾는 문제, 즉 LTS를 페트리 네트워크 도달 가능성 그래프에 통합할 수 있도록 하는 문제는 계산적으로 어려운가?
• RQ2 레이블 분할에서 레이블 수를 제한하면, 표준 통합 문제보다 계산 복잡도가 다항식 시간에서 NP-완전으로 증가하는가?
• RQ3 부분합 문제를 최적의 레이블 분할 문제로 다항식 시간 내에 축약할 수 있는가? 이를 통해 NP-난이도를 입증할 수 있는가?
• RQ4 정확한 이somorphism이 아닌 통합을 允허함으로써 과잉 근사(over-approximation)를 허용할 경우, NP-완전성 결과가 유지되는가?
• RQ5 유사한 복잡도 결과를 얻기 위해, 레이블 분할이 아닌 간선 제거와 같은 다른 변형으로도 동일한 축약 기법을 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 레이블 수를 최소화하면서 LTS를 페트리 네트워크 도달 가능성 그래프에 통합할 수 있도록 하는 최적의 레이블 분할 문제는 NP-완전하다.
• 과잉 근사(over-approximation)를 허용하더라도, 레이블 수를 최소화하면 문제의 복잡도가 여전히 NP-완전함을 보여, 근본적인 복잡도 장벽이 있음을 시사한다.
• 정확히 q = 2n + k + 11개의 레이블을 사용하는 유효한 레이블 분할은 각 γi 쌍에서 정확히 한 개의 레이블만 재할당해야 하며, 이는 기저의 부분합 문제의 해답에 대응한다.
• 부분합 문제에서 레이블 분할 문제로의 축약은 다항식 시간 내에 수행되며, 이는 NP-난이도의 확인을 가능하게 한다.
• 모든 상태 분리 문제-SSP-의 해법 가능성은 LTS 내에서 보장되며, 이는 도달 가능성 그래프의 통합 존재성과 등가하다.
• 결과적으로 정확한 합성(도달 가능성 그래프와의 이somorphism)이 통합보다 더 쉽지 않다는 것을 암시하지만, 이는 아직 증명 없이 남아 있는 추측이다.