[논문 리뷰] Optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ via cyclic codes

Yuan Luo, Chaoping Xing외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 11.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 생성 다항식과 동반 다항식을 갖춘 주의적 순환 코드를 정교하게 설계하여 유한체 위에서 최적의 국소 복구 코드(LRCs)를 구성한다. 최소 거리가 3 및 4인 경우에 대해 적용한다. 주요 기여는 알파벳 크기 $ q $ 와 무관하게 길이가 무한대가 되는 $ q $-진 최적의 LRCs의 첫 번째 가족을 제안한 것으로, 각각 국소성 $ r \geq 2 $ 및 $ r \geq 3 $ 인 Singleton 유형의 부등식을 만족한다.

ABSTRACT

Like classical block codes, a locally repairable code also obeys the Singleton-type bound (we call a locally repairable code {\it optimal} if it achieves the Singleton-type bound). In the breakthrough work of \cite{TB14}, several classes of optimal locally repairable codes were constructed via subcodes of Reed-Solomon codes. Thus, the lengths of the codes given in \cite{TB14} are upper bounded by the code alphabet size $q$. Recently, it was proved through extension of construction in \cite{TB14} that length of $q$-ary optimal locally repairable codes can be $q+1$ in \cite{JMX17}. Surprisingly, \cite{BHHMV16} presented a few examples of $q$-ary optimal locally repairable codes of small distance and locality with code length achieving roughly $q^2$. Very recently, it was further shown in \cite{LMX17} that there exist $q$-ary optimal locally repairable codes with length bigger than $q+1$ and distance propositional to $n$. Thus, it becomes an interesting and challenging problem to construct new families of $q$-ary optimal locally repairable codes of length bigger than $q+1$. In this paper, we construct a class of optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ with unbounded length (i.e., length of the codes is independent of the code alphabet size). Our technique is through cyclic codes with particular generator and parity-check polynomials that are carefully chosen.

연구 동기 및 목표

• 코드 길이가 $ q+1 $ 를 초월하는 $ q $-진 최적의 국소 복구 코드(LRCs)를 구성하여 이전의 길이 제한을 극복한다.
• 최소 거리 $ d \geq 3 $ 가 일정한 상수일 때, 길이가 무한대가 되는 최적의 $ q $-진 LRCs 가 존재하는지 여부라는 열린 문제를 다룬다.
• 최적의 거리와 국소성을 동시에 확보하기 위해 맞춤형 생성 다항식을 갖춘 순환 코드를 사용하는 체계적인 방법을 개발한다.
• 특히 $ d=3 $ 및 $ d=4 $ 에 대해 기존의 $ q+1 $ 길이 장벽을 넘어서기 위해 대수적 수론과 다항식의 근 성질을 활용하여 기존의 구성 방법을 확장한다.
• 해당 최적의 LRCs 가 존재하고 순환 코드임을 보장하는 $ n $, $ r $, $ q $ 에 대한 명시적 충분 조건을 제공한다.

제안 방법

• 생성 다항식 $ g(x) $ 를 사용하여 $ q $-진 순환 코드를 구성하며, 이는 $ x^{n/(r+1)} - \alpha $ 의 근을 포함한다. 여기서 $ \alpha $ 는 원시 $ (r+1) $-단위근이다.
• 필요한 근이 $ \mathbb{F}_q $ 내에 존재하도록 조건 $ \gcd(n, q) = 1 $, $ \gcd(n, q-1) \equiv 0 \pmod{r+1} $ 을 적용하고, $ d=4 $ 인 경우 추가로 $ \gcd(n/(r+1), r+1) \mid 2 $ 를 적용한다.
• 이중 코드의 최소 거리가 $ r+1 $ 이하임을 이용하여 국소성 $ r $ 성질이 보장됨을 증명한다. 이는 이중 거리의 경계에 기반한다.
• 모순을 가정하여 더 작은 거리를 가정하고, $ \overline{\mathbb{F}}_q $ 위에서 행렬식 항등식과 근의 중복도 분석을 통해 최소 거리 $ d \geq 3 $ 또는 $ d \geq 4 $ 를 증명한다.
• 최소 거리가 Singleton 유형의 부등식 $ d \leq n - k - \lceil k/r \rceil + 2 $ 와 등호를 이루므로 최적성임을 확인한다.
• 특수한 경우로, 길이 $ 2(q-1) $ 이고 거리가 4인 $ q $-진 최적의 LRCs 를 생성 다항식 $ g(x) = (x-1)(x-\beta^2)(x^{n/(r+1)} - \alpha) $ 를 사용하여 구성한다. 여기서 $ \beta $ 는 원시 $ n $-단위근이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 거리가 3 및 4인 경우에 대해 $ q+1 $ 를 초월하는 길이를 갖는 최적의 $ q $-진 국소 복구 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 최소 거리가 일정한 상수일 때, 알파벳 크기 $ q $ 와 무관하게 길이가 무한대가 되는 최적의 $ q $-진 LRCs 를 구성할 수 있는가?
• RQ3 $ n $, $ r $, $ q $ 에 대한 어떤 대수적 조건이 거리가 3 및 4인 최적의 순환 LRCs 의 존재를 보장하는가?
• RQ4 특정 생성 다항식을 갖춘 순환 코드를 어떻게 설계하여 최적의 거리, 국소성, 무한한 길이를 동시에 확보할 수 있는가?
• RQ5 이 구성 방법을 확장하여 최소 거리가 길이 $ n $ 과 비례하고 길이가 $ \Omega(q^2) $ 인 코드를 생성할 수 있는가? (열린 문제 제기됨.)

주요 결과

• 논문은 $ \gcd(n, q) = 1 $ 이고 $ \gcd(n, q-1) \equiv 0 \pmod{r+1} $ 를 만족할 경우, 국소성 $ r \geq 2 $ 를 갖는 $ q $-진 최적의 $[n, k = n - (1 + n/(r+1)), 3]$ 순환 국소 복구 코드의 가족을 구성한다.
• 거리가 4인 경우, 추가 조건 $ \gcd(n/(r+1), r+1) \mid 2 $ 를 만족할 경우, 국소성 $ r \geq 3 $ 를 갖는 $ q $-진 최적의 $[n, k = n - (2 + n/(r+1)), 4]$ 순환 LRCs 를 구성한다.
• 코드 길이 $ n $ 는 알파벳 크기 $ q $ 와 무관하게 무한대가 되며, 이는 이전의 구성에서의 핵심 제한을 해결한다.
• 최소 거리가 3 이상 또는 4 이상임을 행렬식 항등식과 근의 중복도 분석을 통해 모순에 기반하여 증명한다.
• 구성된 순환 코드의 이중 코드는 최소 거리가 $ r+1 $ 이하임을 보이며, 이는 국소성 $ r $ 성질을 보장한다.
• 특수한 구성은 $ r+1 \mid 2(q-1) $ 를 만족할 경우, 길이 $ 2(q-1) $ 이고 거리가 4인 $ q $-진 최적의 LRCs 를 생성 다항식에 세 개의 서로 다른 근(특히 $ \beta^2 \in \mathbb{F}_q $)을 포함하여 구성한다.