[논문 리뷰] Optimal lower bounds on hitting probabilities for non-linear systems of stochastic fractional heat equations

Robert C. Dalang, Fei Pu|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색잡음에 의해 구동되는 비선형 확률 분수열 열방정식 시스템에 대한 도달 확률의 날카운 하한을 설정한다. 말리아빈 미분법과 두점 전이 밀도에 대한 새로운 가우시안형 상한을 사용하여, 비가우시안 케이스에서 도달 확률이 가우시안 케이스와 동일하게 날카롭다는 것을 입증하며, 뉴턴 용적을 통해 측정하고, 이는 기존의 고전적 확률 열방정식 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider a system of $d$ non-linear stochastic fractional heat equations in spatial dimension $1$ driven by multiplicative $d$-dimensional space-time white noise. We establish a sharp Gaussian-type upper bound on the two-point probability density function of $(u(s, y), u (t, x))$. From this result, we deduce optimal lower bounds on hitting probabilities of the process $\{u(t, x): (t, x) \in [0, \infty[ imes \mathbb{R}\}$ in the non-Gaussian case, in terms of Newtonian capacity, which is as sharp as that in the Gaussian case. This also improves the result in Dalang, Khoshnevisan and Nualart [ extit{Probab. Theory Related Fields} extbf{144} (2009) 371--424] for systems of classical stochastic heat equations. We also establish upper bounds on hitting probabilities of the solution in terms of Hausdorff measure.

연구 동기 및 목표

• 다중 공간-시간 백색잡음에 의해 구동되는 비선형 분수열 확률 열방정식 시스템에 대한 도달 확률의 최적 하한을 유도하는 것.
• 기존의 고전적 확률 열방정식 결과(α=2)를 더 일반적인 분수계(1<α≤2)로 확장하는 것.
• 비가우시안 영역에서의 도달 확률이 뉴턴 용적을 측도 기준으로 사용하여 가우시안 영역에서와 동일하게 날카로운지 확인하는 것.
• 달랑, 코쉬네비산, 뉴알라르트(2009)의 이전 결과를 비선형 및 분수계 설정에서 더 날카로운 추정으로 개선하는 것.
• 해당 해의 범위에 대한 도달 확률의 상한을 하우스도르프 측도를 통해 유도하여 기하학적 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 말리아빈 미분법 기법을 사용하여 해 과정 (u(s,y), u(t,x))의 두점 확률 밀도함수에 대한 날카운 가우시안형 상한을 도출한다.
• 말리아빈 미분법 프레임워크를 활용하여 해의 법칙과 그 증분의 정규성 분석을 수행하며, 특히 말리아빈 도함수에 중점을 둔다.
• 분수 포물형 거리 Δα((t,x);(s,y)) = |t−s|^{(α−1)/(2α)} + |x−y|^{(α−1)/2}를 사용하여 허더링 연속성과 모멘트 추정을 특성화한다.
• 그론발의 보조정리를 분수 핵 Gα(t,x)의 추정과 함께 사용하여 말리아빈 도함수의 성장과 모멘트 추정을 통제한다.
• 스토케스적 적분과 그린 핵의 푸리에 분석을 통해 해와 그 말리아빈 도함수의 모멘트 추정을 수립한다.
• 용적 이론적 방법, 특히 뉴턴 용적과 하우스도르프 측도를 사용하여 해의 범위 도달 확률을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 공간-시간 백색잡음에 의해 구동되는 비선형 분수열 확률 열방정식 시스템의 도달 확률에 대한 최적 하한은 무엇인가?
• RQ2 이 도달 확률은 가우시안 케이스와 어떻게 비교되며, 뉴턴 용적을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 비가우시안 케이스에서 도달 확률 추정의 날카로움이 용적 이론적 방법을 통해 가우시안 케이스와 동일하게 유지될 수 있는가?
• RQ4 분수 차수 α∈(1,2]가 해의 정규성과 도달 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 도달 확률의 상한은 해의 범위에 대한 하우스도르프 측도와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 해 과정 (u(s,y), u(t,x))의 두점 전이 밀도에 대해 날카운 가우시안형 상한을 수립한다.
• 이 밀도 상한은 비가우시안 케이스에서 최적의 도달 확률 하한을 이끌어내며, 뉴턴 용적 측면에서 가우시안 케이스와 동일한 날카로움을 보인다.
• 콤팩트 집합 I×J 위에서 해의 범위에 대한 도달 확률은 그 집합의 뉴턴 용적에 따라 정의된 양수 상한으로 아래에서 유계이다.
• 이 결과는 달랑, 코쉬네비산, 뉴알라르트(2009)의 결과를 고전적(α=2)에서 분수계(1<α≤2)로 확장함으로써 기존 결과를 개선한다.
• 도달 확률에 대한 상한은 하우스도르프 측도를 통해 유도되어 해의 범위에 대한 기하학적 특성화를 제공한다.
• 논문은 해의 말리아빈 도함수가 지수 β<1−2(α+1)/(p(α−1))를 갖는 허더링 타입 모멘트 추정을 만족함을 증명하여, 콜모고로프의 연속성 정리를 통한 정규성 분석에 활용 가능함을 보여준다.