[논문 리뷰] Optimal minimax bounds for time and ensemble averages for the incompressible Navier-Stokes equations

Ricardo Rosa, Roger Témam|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 13.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중성 기반 최적화 프레임워크를 사용하여 2차원 및 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 해에 대한 시간 평균과 앙상블 평균에 대해 최적의 최대-최소 경계를 수립한다. 유한차원 최대-최소 결과를 무한차원 소산 시스템으로 확장하기 위해 실린더형 테스트 함수계수와 시스템의 법칙에 대한 이중성을 사용하여 날카운 상한을 구성함으로써, 명시적 해 지식이 없이도 최적성을 달성한다.

ABSTRACT

Obtaining sharp estimates for quantities involved in a given model is an integral part of the modeling process. For dynamical systems whose orbits display a complicated, perhaps chaotic, behaviour, the aim is usually to estimate time or ensemble averages of given quantities. This is the case, for instance, in turbulent flows. In this work, the aim is to present a minimax optimization formula that yields optimal bounds for time and/or ensemble averages for the two- and three-dimensional Navier-Stokes equations. The results presented here are extensions to the infinite-dimensional setting of a recent result on the finite-dimensional case given by Tobasco, Goluskin, and Doering in 2017. The optimal result occurs in the form of a minimax optimization problem and does not require knowledge of the solutions, only the law of the system. The minimax optimization problem appears in the form of a maximization over a portion of the phase space of the system and a minimization over a family of auxiliary functions made of cylindrical test functionals defined on the phase space. The function to be optimized is the desired quantity plus the duality product between the law of the system and the derivative of the auxiliary function.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 나비에-스토크스 방정식에서 양상에 대한 날카운 상한, 최적의 상한 경계를 도출하기 위해.
• Tobasco 등(2017)의 유한차원 최대-최소 경계를 나비에-스토크스 방정식의 무한차원 설정으로 확장하기 위해.
• 보조 실린더형 함수계수와의 이중성을 사용하여, 명시적 해 지식이 아닌 시스템의 통계 법칙에만 의존하는 경계를 구성하기 위해.
• 약한 정적 통계 해와 불변 측도를 포함하는 최대-최소 공식화를 통해 경계의 최적성을 확립하기 위해.
• 이중성과 약한 위상 프레임워크를 활용하여 난류 흐름 양상에 대한 계산적으로 실현 가능한 추정치를 제공하기 위해.

제안 방법

• 최적 경계를 최소-최대 문제로 공식화: 실린더형 테스트 함수계수 Ψ에 대한 inf, 위상 공간 점 u ∈ K 에 대한 sup.
• 시스템의 법칙과 Ψ의 도함수 사이의 이중 곱을 사용하여 목적 함수를 구성한다.
• Sion의 최소-최대 정리를 적용하여 sup와 inf의 순서를 바꾸어 경계의 최적성을 증명한다.
• 힐베르트 공간 H 내의 컴팩트 집합에서의 약한 정적 통계 해(wsss)와 Foias-Prodi 해의 프레임워크 내에서 작업한다.
• H에서 유계 집합의 약한 위상 하에서의 컴팩트성과 Leray-Hopf 약한 해에 대한 흡수 구역의 존재를 기반으로 한다.
• 무한차원에서의 미분 가능성과 이중성을 보장하기 위해 쌍대 공간 W′ 내의 실린더형 테스트 함수계수를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 나비에-스토크스 방정식에 대해 시간 평균과 앙상블 평균에 대한 최적의 최대-최소 경계를 유도할 수 있는가?
• RQ2 유한차원에서의 최대-최소 공식화는 나비에-스토크스 방정식의 무한차원 설정으로 확장 가능한가?
• RQ3 명시적 해 지식 없이도 시스템의 통계 법칙에만 의존하여 날카운 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 약한 정적 통계 해와 불변 측도는 최적 경계를 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 흡수 구역이 컴팩트한 경우, Leray-Hopf 약한 해에 대해 경계는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 시간 평균의 최적 경계는 실린더형 테스트 함수계수 Ψ에 대한 infimum과 컴팩트 집합 K 위에서 φ(u) + ⟨F(u), Ψ′(u)⟩ 의 최댓값의 조합으로 주어진다.
• 최소-최대 항등식이 성립한다: 초기 조건에 대한 sup와 limsup 시간 평균이 일치하며, 이는 최적성을 증명한다.
• 결과는 힐베르트 공간 H 내에서 2차원 및 3차원 비압축성 나비에-스토크스 방정식 모두에 대해 유효하다.
• 결과는 정규성의 전부가 없더라도 약한 정적 통계 해와 Foias-Prodi 해에 대해 적용 가능하다.
• Leray-Hopf 약한 해에 대해 H 내의 충분히 큰 흡수 구역 BR로 제한할 경우 경계는 여전히 유효하다.
• 이중성에 기반하여 계산적으로 실현 가능한 추정치를 도출할 수 있으며, 직접 해 계산을 피할 수 있다.