[논문 리뷰] Optimal order of $L_p$-discrepancy of digit shifted Hammersley point sets in dimension 2

Aicke Hinrichs, Ralph Kritzinger외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 16.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 29인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 차원에서 디지트 시프트된 및 대칭화된 허머스리 포인트 세트가 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 최적의 $L_p$-불일치 순서 $\sqrt{\log N}/N$ 를 달성함을 보여주며, 이는 이러한 고전적 포인트 세트의 불일치 행동에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다. 저자들은 복잡한 함수 공간 임bedding을 피하기 위해 리틀우드-페이리 이론을 사용한 직접적인 증명을 제공하며, 두 가지 수정 모두 모든 $L_p$ 노름에서 최고의 수렴 속도를 동시에 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

It is well known that the two-dimensional Hammersley point set consisting of $N=2^n$ elements (also known as Roth net) does not have optimal order of $L_p$-discrepancy for $p \in (1,\infty)$ in the sense of the lower bounds according to Roth (for $p \in [2,\infty)$) and Schmidt (for $p \in (1,2)$). On the other hand, it is also known that slight modifications of the Hammersley point set can lead to the optimal order $\sqrt{\log N}/N$ of $L_2$-discrepancy, where $N$ is the number of points. Among these are for example digit shifts or the symmetrization. In this paper we show that these modified Hammersley point sets also achieve optimal order of $L_p$-discrepancy for all $p \in (1,\infty)$.

연구 동기 및 목표

• 디지트 시프트된 및 대칭화된 허머스리 포인트 세트가 두 차원에서 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 최적의 $L_p$-불일치 순서를 달성하는지 여부를 규명하는 것.
• 이러한 수정된 포인트 세트에 대한 최적의 $L_p$-불일치를 증명하는 직접적인 방법을 제공하여 고급 함수 공간 임베딩에 의존하지 않는 것.
• 두 수정 모두 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 동시에 동일한 최적 수렴 속도 $\sqrt{\log N}/N$ 를 제공함을 보여주는 것.
• 기존의 구성, 예를 들어 스카리아노프와 고다의 구성과 비교하여 일반성과 $L_p$-노름 최적성 측면에서의 성능을 평가하는 것.

제안 방법

• 저자들은 고전적인 두 차원 허머스리 집합 $\mathcal{R}_n$ 에서 디지트 시프트 및 반사 연산을 통해 유도된 디지트 시프트된 허머스리 포인트 세트 $\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}$ 와 대칭화된 형태 $\widetilde{\mathcal{R}}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}$ 를 분석한다.
• 그들은 베졸 및 트리벨-리조르킨 공간을 언급하지 않고도 $L_p$-노름을 유도하기 위해 리틀우드-페이리 이론을 핵심 분석 도구로 사용한다.
• 증명은 원래와 수정된 포인트 세트의 불일치 함수 간의 차이를 불등식 $|D_N(\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}, \mathbf{t}) - D_N(\widetilde{\mathcal{R}}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}, \mathbf{t})| \leq 1/2^{n+1}$ 를 통해 유도하며, 이는 변환 과정에서 최대 한 점만 상자 경계를 넘을 수 있다는 사실에서 유래된다.
• 그 후 $L_p$-노름은 삼각 부등식과 상수 $1/2^{n+1}$ 의 $L_p$-유계성에 의해 추정되며, 이로 인해 수정된 세트와 원래 세트의 노름 간의 차이는 순서 $1/N$ 이 된다.
• 저자들은 수정된 세트의 $L_p$-불일치가 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 $L_{p,N}(\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}) \asymp \sqrt{\log N}/N$ 를 만족함을 입증하며, 로스와 샤를름의 하한과 일치함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원에서 디지트 시프트된 허머스리 포인트 세트가 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 최적의 $L_p$-불일치 순서를 달성하는가?
• RQ2 허머스리 집합의 대칭화를 통해 최적의 $L_p$-불일치 순서를 달성할 수 있으며, 이는 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 균일하게 성립하는가?
• RQ3 함수 공간 임베딩과 하어 계수 계산을 피한 직접적인 증명을 통해 이러한 수정에 대한 최적의 $L_p$-불일치를 확보할 수 있는가?
• RQ4 디지트 시프트 및 대칭화된 허머스리 세트의 불일치 성질은 $L_p$-노름 최적성 측면에서 다른 알려진 구성들과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 디지트 시프트된 허머스리 포인트 세트는 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 최적의 $L_p$-불일치 순서 $\sqrt{\log N}/N$ 를 달성하며, 로스와 샤를름이 확립한 하한과 일치한다.
• 대칭화된 디지트 시프트된 허머스리 포인트 세트 역시 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 최적의 $L_p$-불일치 순서 $\sqrt{\log N}/N$ 를 달성하며, 모든 $p$ 에서 동일한 수렴 속도를 보인다.
• 원래 세트와 수정된 세트 간의 $L_p$-불일치 차이는 $1/N$ 으로 유계지며, 이는 수정에 의해 점근적 순서가 유지됨을 보장한다.
• 증명은 직접적이고 자그만한 것으로, 리틀우드-페이리 이론을 사용하며, 이전 연구에서 사용된 고급 함수 공간 임베딩이나 하어 계수 분석이 필요로 하지 않는다.
• 결과적으로 두 수정 모두 모든 $p \in (1,\infty)$ 에 대해 동시에 최적의 불일치를 제공하며, 일부 다른 구성들과 달리 $p$ 에 따라 달라지지 않는다.
• 이러한 발견은 수정된 허머스리 세트의 $L_p$-불일치가 $\sqrt{\log N}/N$ 의 속도로 수렴함을 확인하며, 이는 두 차원 포인트 세트의 $L_p$-의미에서 최고의 가능성을 보여준다.