[논문 리뷰] Optimal quantum control with digitized Quantum Annealing

Glen Bigan Mbeng, Rosario Fazio외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 갭에 대한 사전 지식 없이도 디지타이즈드 양자 앤날링(dQA)이 이론적 잔류 에너지 한계에 도달할 수 있음을 보여주며, 이론적으로 최적의 제어를 달성하기 위해 규칙적이고 반복적인 스케줄을 구성함으로써 이를 실현한다. 이 방법은 표준 QA에 비해 잔류 에너지 스케일링에서 제곱근 속도 향상을 이룬다: $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1}$이며, 변분 최적화를 통해 최적의 QAOA 해와 동치임을 입증한다.

ABSTRACT

We show how a digitized version of Quantum Annealing can be made optimal, realizing the best possible solution allowed by quantum mechanics in the shortest time, without any prior knowledge on the location and properties of the spectral gap. Our findings elucidate the intimate relation between digitized-QA, optimal Quantum Control, and recently proposed hybrid quantum-classical variational algorithms for quantum-state preparation and optimization. We illustrate this on the simple benchmark problem of an unfrustrated antiferromagnetic Ising chain in a transverse field.

연구 동기 및 목표

• 디지타이즈드 양자 앤날링(dQA)과 스펙트럼 갭 정보 없이도 최적의 양자 제어를 연결하는 데 목적이 있다.
• 규칙적이고 반복적인 dQA 스케줄이 양자 최적화에서 이론적으로 최적의 잔류 에너지 한계에 도달할 수 있음을 보여주는 데 목적이 있다.
• 최적의 dQA 해가 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 변분 QAOA 최적화에서 자연스럽게 유도됨을 보여주며, 고전적 어드바틱 프로토콜과의 연결 고리를 마련하는 데 목적이 있다.
• 스펙트럼 갭에 대한 사전 지식 없이도, 조건이 어려운(비정규적 또는 다중 최소값이 존재하는) 고전적 최적화 경로에서 최적의 dQA 스케줄을 효율적으로 구성할 수 있는지 조사하는 데 목적이 있다.
• 이론적 방법이 이동 대칭성 시스템을 넘어서, 불순물이 있거나 복잡한 해밀토니안을 포함한 일반적인 시스템으로도 일반화 가능한지 탐색하는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 저자들은 연속 시간의 어드바틱 진동을 이산 단위 게이트의 시퀀스로 이산화함으로써 디지타이즈드 양자 앤날링(dQA) 프로토콜을 구성하였으며, 이는 QAOA 회로 구조와 유사하다.
• 변분 최적화를 QAOA 안사수 $|\psi_P(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta})\rangle = \prod_{k=1}^P e^{-i\beta_k \widehat{H}_x} e^{-i\gamma_k \widehat{H}_{\mathrm{target}}} |\psi_0\rangle$에 적용하여 최적의 매개변수 $\boldsymbol{\gamma}^\mathrm{opt}, \boldsymbol{\beta}^\mathrm{opt}$를 찾는다.
• 핵심 통찰은 QAOA 에너지의 $2^P$개의 다중 최소값 중에서, $P$ 단계에서 반복적으로 구성할 수 있는 특수한 규칙적인 해가 존재하며, 이는 최적의 스케줄을 유도한다는 것이다.
• 최적의 dQA 스케줄은 본드-본드 제어 양식으로 유도되며, Pontryagin의 최대 원리에 의해 예측된 것으로, 최소한의 진동 시간과 최대한의 위상 일치도를 보장한다.
• 이 방법은 횡방향 자기장이 있는 이징 체인에서 검증되었으며, 잔류 에너지 $\epsilon^{\mathrm{res}}$는 이론적으로 $(2P + 2)^{-1}$로 경계가 되며, 수치적으로 $\tau^{-1}$로 스케일링됨을 보였다.
• 이 프로토콜은 비제로 횡방향 자기장과 이방성 XY 모델로 확장되었으며, 임계점 근처에서 스펙트럼 정보 없이도 강건하고 자동으로 적응함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 갭에 대한 사전 지식 없이도 최적의 잔류 에너지 한계에 도달할 수 있는 디지타이즈드 양자 앤날링 프로토콜을 구성할 수 있는가?
• RQ2 QAOA 안사수의 변분 최적화가 어떻게 이론적 에너지 한계에 도달하는 규칙적이고 반복적인 dQA 스케줄을 도출하는가?
• RQ3 최적의 dQA 스케줄을 찾는 데 드는 계산 비용은 얼마이며, 수렴 속도 측면에서 무작위 초기화와 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ4 최적의 dQA 해는 이동 대칭성 시스템을 넘어서 불순물이 있거나 과도한 스핀 모델 등으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 변분 에너지 경로의 구조는 다중 최소값이나 불순물 존재 시 글로벌 최적해를 찾는 데 있어 효율성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최적의 dQA 스케줄은 잔류 에너지 스케일링을 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1}$로 구현하여 표준 Kibble-Zurek 스케일링 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1/2}$에 비해 제곱근 속도 향상을 이룬다.
• QAOA 안사수의 $2^P$개의 다중 최소값 중에서, $P$ 단계에서 반복적으로 구성 가능한 유일한 규칙적인 해가 존재하며, 이는 최적의 프로토콜을 유도한다.
• 최적의 dQA 스케줄은 Pontryagin의 원리에 의해 예측된 '본드-본드' 제어 양식에서 유도되며, 최소한의 진동 시간과 최대한의 위상 일치도를 보장한다.
• 재귀적 초기화를 사용할 경우 $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim t_{\mathrm{cc}}^{-2/3}$를 달성하며, 이는 무작위 초기화($\epsilon^{\mathrm{res}} \sim t_{\mathrm{cc}}^{-1/3}$)를 뛰어넘고 Kibble-Zurek 스케일링을 초월한다.
• 횡방향 자기장 이징 모델에서 임계점 $s_c = 2/(1-h)$ 근처에서는 스펙트럼 정보 없이도 최적의 dQA 스케줄이 자동으로 평탄해진다.
• 이 절차는 일반적인 이방성 XY 모델에 대해서도 효과적이며, 불순물에 대해 강건하지만, 이 경우 다중 최소값이 해소되고 최적화 경로는 더 복잡해진다.