[논문 리뷰] Optimal Quantum Spatial Search with One-Dimensional Long-Range Interactions

Dylan Lewis, Asmae Benhemou외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 47인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 장거리 상호작용이 1/r^α로 감쇠하는 1차원 스핀 체인에서 최적의 양자 공간 탐색—근사 단위 편율을 갖는 O(√n) 실행 시간—가 가능하다는 것을 보여준다. 이러한 체인에서 연속 시간 양자 산책을 분석함으로써, 저자들은 α < 1.5일 때 최적의 탐색이 존재함을 해석적으로 및 수치적으로 증명하며, α ≲ 1.2일 경우 근사 완벽한 편율을 달성할 수 있음을 보이고, 위상 분산 노이즈에 대한 강건성을 보이며, 이는 이온 트랩과 같은 시스템에서 실험적으로 실현 가능하다.

ABSTRACT

Continuous-time quantum walks can be used to solve the spatial search problem, which is an essential component for many quantum algorithms that run quadratically faster than their classical counterpart, in O(n) time for n entries. However, the capability of models found in nature is largely unexplored - e.g., in one dimension only nearest-neighbor Hamiltonians have been considered so far, for which the quadratic speedup does not exist. Here, we prove that optimal spatial search, namely with O(n) run time and high fidelity, is possible in one-dimensional spin chains with long-range interactions that decay as 1/rα with distance r. In particular, near unit fidelity is achieved for α≈1 and, in the limit n→∞, we find a continuous transition from a region where optimal spatial search does exist (α<1.5) to where it does not (α>1.5). Numerically, we show that spatial search is robust to dephasing noise and that, for reasonable chain lengths, α≲1.2 should be sufficient to demonstrate optimal spatial search experimentally with near unit fidelity.

연구 동기 및 목표

• 물리적으로 현실적인 장거리 상호작용이 1차원 스핀 체인에서 최적의 양자 공간 탐색을 가능하게 할 수 있는지 확인하는 것.
• 최적의 탐색에서 비최적의 탐색으로의 전이가 발생하는 α의 임계값을 규명하는 것.
• 실험적으로 실현 가능한 시스템에서 고정도 공간 탐색이 가능해지는 조건을 설정하는 것.
• 이론적 설정에서 위상 분산 노이즈에 대한 최적 탐색의 강건성을 분석하는 것.

제안 방법

• 장거리 상호작용이 1/r^α로 감쇠하는 1차원 스핀 체인에서 연속 시간 양자 산책을 사용하여 공간 탐색 문제를 수립한다.
• 폐쇄된 체인에서 상호작용 강도 Jij ∝ 1/|i−j|^α를 갖는 XY 스핀 모델을 사용하여 시스템 해밀토니안을 모델링한다.
• Childs와 Goldstone 알고리즘을 적용하여 H_search = γH + H_marked의 하중하에 시스템을 진화시는데, 여기서 H_marked는 오라클 해밀토니안이다.
• 최적의 진화 시간 T ∝ 1/ΔE를 결정하기 위해 기본 상태와 첫 번째 올림 상태 사이의 에너지 갭을 분석한다.
• 조화 수열의 해석적 근사와 점근 전개를 사용하여 편율 F∞(α)의 n에 대한 스케일링을 유도한다.
• 유한한 n에 대해 점점 더 정확한 스케일링과 편율을 검증하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행한다. 특히 α ≲ 1.2에 대해 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장거리 상호작용이 있는 1차원 스핀 체인에서 최적의 공간 탐색이 존재하는 α의 값은 무엇인가?
• RQ2 최적의 탐색과 비최적의 탐색을 나누는 임계값 α는 무엇인가?
• RQ3 실제 체인 길이와 α 값에서 실험적으로 고정도 공간 탐색(근사 단위 편율)을 달성할 수 있는가?
• RQ4 위상 분산 노이즈는 이 모델에서 공간 탐색 프로토콜의 성능에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 큰 n의 극한에서 α < 1.5일 경우 최적의 공간 탐색이 O(√n) 실행 시간을 갖는 것으로 해석적으로 증명된다.
• α ≲ 1.2일 경우 근사 단위 편율(F∞(α) ≈ 1)을 달성하며, α < 1.5일 경우 편율 스케일링이 일정한 값에 수렴한다.
• 최적의 탐색에서 비최적의 탐색으로의 전이가 α = 1.5에서 발생하며, 이때 편율 F∞(α)는 점점 0에 수렴한다.
• 수치 시뮬레이션은 최대 편율에 도달하는 데 소요되는 시간이 α ≤ 1.3일 경우 O(√n)로 스케일링되며, α < 1.5까지 거의 최적 상태를 유지함을 확인한다.
• 이 프로토콜은 위상 분산 노이즈에 강건하여, 현실적인 비결정보존 조건에서도 높은 편율을 유지한다.
• 이 모델은 실험적으로 실현 가능하며, 이온 트랩 시스템에서 이미 α ≈ 1이 구현 가능하고, α ≲ 1.2까지는 조절 가능한 것으로 확인된다.