[논문 리뷰] Optimal Quaternary Hermitian LCD codes

Liangdong Lü, Xiuzhen Zhan외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 20.

Coding theory and cryptography참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $ℓ_4$ 위에서 최적 및 거의 최적의 4진 허미트 선형 보완 이중(_LCD) 코드를 잘라내기, 연장, 단순화 및 조합 기법을 사용하여 구성한다. $[18,7,9]$, $[19,7,9]$, $[20,7,10]$과 같은 새로운 최적 코드를 제시하며, 이는 이전의 경계를 향상시키고 그라스르의 코드표 한계에 도달한다. 이러한 코드는 엔트랑글먼트 보조 양자 오류정정 코드를 통해 양자 오류정정에 활용된다.

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) codes, which is a class of linear codes introduced by Massey, have been extensively studied in literature recently. It has been shown that LCD codes can help to improve the security of the information processed by sensitive devices, especially against so-called side-channel attacks (SCA) and fault invasive attacks. In this paper, Tables are presented of good quaternary Hermitian LCD codes and there are used in the construction of puncturing, extending, shortening and combination codes. Results including tables 3 of the best-known quaternary Hermitian LCD codes of any length $ n \leq 25$ with corresponding dimension $k$ are presented. In addition, Many of these quaternary Hermitian LCD codes given in this paper are optimal which are saturating the lower or upper bound of Grassl's codetable in \cite{Grassl} and some of them are nearly optimal.

연구 동기 및 목표

• 더 나은 오류정정을 위해 최소 거리가 향상된 새로운 4진 허미트 LCD 코드를 구성하기.
• 그라스르의 코드표에서 알려진 경계에 도달하거나 이를 근접하는 최적 및 거의 최적의 코드를 식별하기.
• 4진 허미트 LCD 코드와 최대 엔트랑글먼트 엔트랑글먼트 보조 양자 오류정정 코드(EAQECC) 사이의 관계를 탐색하기.
• 잘라내기, 연장, 단순화 및 조합 기법을 통해 기존 구성법을 확장하여 더 우수한 매개변수를 가진 코드를 생성하기.
• 길이 $n \leq 25$에 대한 최고의 알려진 4진 허미트 LCD 코드의 종합 표를 제공하기.

제안 방법

• 기존 최적 코드에 잘라내기, 연장, 단순화 및 조합 기법을 적용하여 새로운 4진 허미트 LCD 코드를 생성한다.
• 허미트 내적을 $ℓ_4$ 위에서 정의하여 이중성과 LCD 조건을 설정한다. 내적은 $(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger$로 정의된다.
• 코드 $ℓ$이 LCD임을 보장하기 위해 $ℓ \cap ℓ^\perp = \{\mathbf{0}\}$ 조건을 적용한다. 이는 이중과의 교차가 자명함을 의미한다.
• 코드 구성 중 모든 가능한 좌표 선택 조합을 체계적으로 테스트하여 최소 거리를 최대화한다.
• 구성된 코드를 그라스르의 코드표와 비교하여 최적성을 판단하며, 최적 코드는 상한 또는 하한 경계에 도달하는 코드로 정의한다.
• 최소 거리를 유지하면서 공식 $[[n, 2k-n+c, d; c]]$를 사용하여 고전적 LCD 코드에서 최대 엔트랑글먼트 EAQECC를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $n \leq 25$인 4진 허미트 LCD 코드 중 최소 거리 이론 경계에 도달하거나 이를 근접하는 것은 무엇인가?
• RQ2 잘라내기, 연장, 단순화 및 조합 기법을 통해 새로운 최적 또는 거의 최적의 4진 허미트 LCD 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ3 구성된 4진 허미트 LCD 코드는 그라스르의 코드표에서 최고의 알려진 선형 코드와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 최적의 4진 허미트 LCD 코드와 최대 엔트랑글먼트 EAQECC 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 새로운 코드는 이전 구성 방식에 비해 기존 양자 코드의 최소 거리를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 최적의 4진 허미트 LCD 코드 $[18,7,9]$를 구성하였으며, 무게 분포 함수 $1+393z^9+666z^{10}+\cdots+117z^{18}$를 가진다. 이는 이전의 경계를 향상시킨다.
• 새로운 최적 코드 $[19,7,9]$와 $[20,7,10]$를 제시하였으며, 후자는 이전 구성보다 더 높은 최소 거리를 달성한다.
• 길이 $21 \leq n \leq 25$ 및 $16 \leq k \leq 18$ 범위 내에서, $[23,4,15]$, $[24,5,15]$, $[25,8,12]$와 같은 몇몇 유도된 코드들도 최적이며 그라스르의 코드표 경계에 도달한다.
• $[15,6,7]$ 코드는 최적이며, 자가수직 코드 분류에서 $[15,6,8]$ 코드가 존재하지 않기 때문에 확인된다.
• $[18,7,9]$, $[19,7,9]$, $[20,7,10]$ 코드는 향상된 최대 엔트랑글먼트 EAQECC를 유도한다: $[[18,7,9;11]]$, $[[19,7,9;12]]$, $[[20,7,10;12]]$.
• 표 3은 $n \leq 25$에 대한 최소 거리에 대한 낮은 경계와 높은 경계를 정밀화하며, 굵은 글씨로 표시된 항목은 이전 작업 대비 향상된 결과를 나타낸다.