[논문 리뷰] Optimal regularity of stable solutions to nonlinear equations involving the $p$-Laplacian

Xavier Cabré, Pietro Miraglio외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{R}^n $에서 $ p $-라플라스 방정식 $ -\Delta_p u = f(u) $의 안정된 약한 해에 대해 최적의 내부 $ C^\beta $ 정규성 추정을 확립한다. $ p \geq 2 $일 때는 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 조건 하에서 유계성을 증명하고, $ p \in (1,2) $일 땐 비최적 조건 $ n < 5p $ 하에서 이를 증명한다. 이 결과는 비선형 타원형 PDE 이론에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하며, 고전적 $ p=2 $ 정규성 이론을 $ p $-라플라스 연산자의 전체 범위로 확장한다.

ABSTRACT

We consider the equation $-\\Delta_p u=f(u)$ in a smooth bounded domain of $\\mathbb{R}^n $, where $\\Delta_p$ is the $p$-Laplace operator. Explicit examples of unbounded stable energy solutions are known if $n\\geq p+4p/(p-1)$. Instead, when $n&lt;p+4p/(p-1)$, stable solutions have been proved to be bounded only in the radial case or under strong assumptions on $f$. In this article we solve a long-standing open problem: we prove an interior $C^\\alpha$ bound for stable solutions which holds for every nonnegative $f\\in C^1$ whenever $p\\geq2$ and the optimal condition $n&lt;p+4p/(p-1)$ holds. When $p\\in(1,2)$, we obtain the same result under the non-sharp assumption $n&lt;5p$. These interior estimates lead to the boundedness of stable and extremal solutions to the associated Dirichlet problem when the domain is strictly convex. Our work extends to the $p$-Laplacian some of the recent results of Figalli, Ros-Oton, Serra, and the first author for the classical Laplacian, which have established the regularity of stable solutions when $p=2$ in the optimal range $n&lt;10$.

연구 동기 및 목표

• 안정된 해에 대해 $ p $-라플라스 방정식 $ -\Delta_p u = f(u) $의 최적 차원 범위에서 최적의 내부 정규성을 확립하는 것.
• 최근 $ p=2 $인 경우에 대한 안정해에 대한 $ C^\alpha $ 정규성 결과를 전체 범위 $ p \in (1, \infty) $로 확장하는 것, 특히 $ p \geq 2 $의 경우에 중점을 두고.
• 도메인이 엄격하게 볼록할 때, $ p \geq 2 $에 대해 최적 조건 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 하에서 안정해가 유계임을 증명하는 것.
• 레벨 집합에 기반한 날카로운 $ L^p $-기반 추정을 수립하고 기하학적 Poincaré 유형 부등식을 활용하여 $ |\nabla u| $의 기울기를 제어하며, 안정성과 coarea 공식 기법을 활용한다.

제안 방법

• 레벨 집합 $ \{u = t\} $에서의 coarea 공식과 경계 불등식의 새로운 응용을 통해 내부 $ C^\alpha $ 정규성 추정을 유도하며, 기하학적 형태의 안정성 조건을 사용한다.
• 테스트 함수의 공간을 정의하기 위해 가중치 $ \sigma = |\nabla u|^{p-2} $를 갖는 가중치 소볼레프 공간 $ W^{1,2}_\sigma $를 도입하여, 완비성과 $ p $-라플라스 구조와의 호환성을 확보한다.
• 안정성 부등식의 기하학적 형태(정리 1.8)를 적용하여 레벨 집합에서 $ \nabla_T |\nabla u| $의 $ L^2 $-노름을 제어하며, 에너지 함수의 이차 변동과 연결한다.
• 횔더 부등식과 coarea 공식을 사용하여 $ \nabla u $의 $ L^p $-유계성과 레벨 집합에서 $ |\nabla u|^{\frac{p-1}{2}} $의 $ L^{\frac{2(n-1)}{n-3}} $-유계성을 조합함으로써 $ L^{p + \frac{2(p-1)}{n-1}} $-유계성을 도출한다.
• 적분 by parts를 하위레벨 집합 $ \{u > t\} $에서 정당화하기 위해 부드러운 근사 기법을 사용하며, $ u $가 완전한 $ C^2 $ 정규성을 갖지 않더라도 가능하도록 한다.
• 방정식 $ \Delta_p u = f(u) \in L^1_{\text{loc}} $를 이용하여 절단과 발산 정리 기법을 통해 레벨 집합에서 $ |\nabla u| $의 $ L^{p-1} $-노름에 대한 핵심 추정(B.4)을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ p \geq 2 $일 때, $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 조건 하에서 안정해에 대해 최적의 $ C^\alpha $ 정규성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 안정해가 비유계가 될 수 있는 최소 차원 임계값은 무엇이며, 볼록성 조건 하에서 유계성이 복구될 수 있는가?
• RQ3 $ u $가 $ C^2 $가 아니더라도, 안정성 조건을 기하학적 형태로 사용하여 레벨 집합에서 $ |\nabla u| $의 기울기를 제어할 수 있는가?
• RQ4 $ p=2 $일 때의 Figalli, Ros-Oton, Serra, Cabré의 정규성 결과를 전체 범위 $ p \in (1, \infty) $로 확장할 수 있는가, 특히 $ p \geq 2 $의 경우에 중점을 두고?
• RQ5 레벨 집합에서 $ L^p $-유형 추정을 유도하여 $ |\nabla u| $의 더 높은 적분 가능성을 확보하고, 원형 대칭성을 가정하지 않고도 $ C^\alpha $ 정규성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• $ p \geq 2 $일 때, 매끄럽고 유계인 도메인 내에서 $ -\Delta_p u = f(u) $의 안정해는 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 조건 하에서 최적의 차원 조건 하에 내부에서 $ C^\alpha $-정규성을 갖는다.
• $ p \in (1,2) $일 때는 동일한 $ C^\alpha $ 정규성이 비최적 조건 $ n < 5p $ 하에서 성립하며, 적용 범위가 확장된다.
• 내부 $ C^\alpha $ 유계성은 coarea 공식, 레벨 집합에서의 경계 불등식, 안정성 조건의 적분 형태를 포함한 새로운 기하학적 방법을 통해 확립된다.
• $ \nabla u $의 $ L^p $-유계성을 사용하여 $ |\nabla u| $의 $ L^{p + \frac{2(p-1)}{n-1}} $-노름을 제어하며, 이는 소볼레프 포함 원리에 의해 원하는 호일더 정규성을 암시한다.
• 도메인이 엄격하게 볼록할 때, $ p \geq 2 $에 대해 최적 차원 조건 $ n < p + \frac{4p}{p-1} $ 하에서 딜리클레 문제의 안정해 및 극값해가 유계임을 증명한다.
• 원형 대칭성을 가정하지 않으며, 일반적인 $ f \in C^1 $에 대해 적용 가능하며, 지수형 및 거듭제곱형 비선형성인 $ \lambda e^u $ 및 $ \lambda(1+u)^m $($ m > p-1 $) 등에도 적용 가능하다.