[논문 리뷰] Optimal representation of the bath response function & fast calculation of influence functional coefficients in open quantum systems with BATHFIT 1

Nikesh S. Dattani, David M. Wilkins외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 21.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 열린 양자 시스템에서 배경 응답 함수 α(t)를 지수 함수의 합으로 최적으로 표현할 수 있도록 해주는 오픈소스 MATLAB 도구 BATHFIT 1을 소개한다. α(t) = ΣK p̄K e^{Ω̄K t} 형태로 비선형 최소 제곱법을 사용하여 피팅한다. 이 방법은 낮은 K로도 높은 정확도를 달성하여 경로 적분 시뮬레이션에 필수적인 영향 함수 계수 계산을 가속화한다.

ABSTRACT

Today's most popular techniques for accurately calculating the dynamics of the reduced density operator in an open quantum system, either require, or gain great computational benefits, from representing the bath response function a(t) in the form a(t)={\Sigma}_k^K p_k e^{O_k t} . For some of these techniques, the number of terms in the series K plays the lead role in the computational cost of the calculation, and is therefore often a limiting factor in simulating open quantum system dynamics. We present an open source MATLAB program called BATHFIT 1, whose input is any spectral distribution functions J(w) or bath response function, and whose output attempts to be the set of parameters {p_k,w_k}_k=1^K such that for a given value of K, the series {\Sigma}_k^k p_k e^{O_k t} is as close as possible to a(t). This should allow the user to represent a(t) as accurately as possible with as few parameters as possible. The program executes non-linear least squares fitting, and for a very wide variety of spectral distribution functions, competent starting parameters are used for these fits. For most forms of J(w), these starting parameters, and the exact a(t) corresponding to the given J(w), are calculated using the recent Pade decomposition technique - therefore this program can also be used to merely implement the Pade decomposition for these spectral distribution functions; and it can also be used just to efficiently and accurately calculate a(t) for any given J(w) . The program also gives the J(w) corresponding to a given a(t), which may allow one to assess the quality (in the w-domain) of a representation of a(t) being used. Finally, the program can calculate the discretized influence functional coefficients for any J(w), and this is computed very efficiently for most forms of J(w) by implementing the recent technique published in [Quantum Physics Letters (2012) 1 (1) pg. 35].

연구 동기 및 목표

• 최소한의 항 수 K를 사용하여 배경 응답 함수 α(t)를 지수 함수의 합으로 표현하는 계산적으로 효율적인 방법을 개발하는 것.
• α(t)를 표현하기 위해 필요한 지수 항의 수를 최소화하여 열린 양자 시스템에서 파인만 경로 적분 시뮬레이션의 계산 비용을 감소시키는 것.
• 유능한 초기 값과 다양한 스펙트럼 분포 함수 J(ω)를 지원하는 강력한 오픈소스 도구(BATHFIT 1)를 제공하는 것.
• QUAPI 및 관련 경로 적분 방법에 필수적인 이산화된 영향 함수 계수를 정확하고 신속하게 계산할 수 있도록 하는 것.
• 적합된 매개수에서 유도된 α(t) 표현을 바탕으로 J(ω)를 재구성하여 주파수 도메인에서 α(t) 표현의 품질을 평가할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 주어진 K에 대해 α(t)를 ΣK p̄K e^{Ω̄K t} 형태로 비선형 최소 제곱 피팅(레벤버그-마르카르트 또는 신뢰 영역 반사 방법)을 사용한다.
• J(ω)가 해석적으로 다룰 수 있는 클래스에 속할 경우 패드 분해 기법을 활용해 {p̄K, Ω̄K}의 고급 초기 추정치를 생성한다.
• 주어진 J(ω)에 대해 닫힌 형태의 표현식이 존재할 경우 수치적 적분 변환(Eq. 5) 또는 해석적으로 α(t)를 계산한다.
• 적합된 α(t) 매개수에서 J(ω)를 재구성하여 주파수 도메인에서 표현의 정확성을 검증한다.
• 최근의 연구 성과[1]에 기반한 효율적인 알고리즘을 구현하여 이산화된 영향 함수 계수를 계산하며, 보조적인 Mathematica 스크립트를 통해 해석적 계수 유도를 지원한다.
• 드류드, 로렌츠, 오믹, 준오믹 스펙트럼을 포함한 다양한 J(ω) 형태를 지원하며, 해석적 또는 수치적 α(t) 평가가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 항 수 K를 최소화하여 ΣK p̄K e^{Ω̄K t} 형태로 배경 응답 함수 α(t)를 높은 정확도로 표현할 수 있는가?
• RQ2 다양한 J(ω) 형태에 걸쳐 α(t)의 비선형 피팅을 위한 최적의 초기 매개수 추정치 {p̄K, Ω̄K}는 어떻게 생성할 수 있는가?
• RQ3 BATHFIT 1을 사용하여 열린 양자 시스템 시뮬레이션에서 영향 함수 계수를 계산할 때 어떤 계산적 이점이 있는가?
• RQ4 적합된 α(t) 표현에서 유도된 매개수로부터 J(ω)를 얼마나 정확하게 재구성할 수 있으며, 이는 근사의 타당성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 BATHFIT 1은 다양한 스펙트럼 분포에 걸쳐 α(t)와 영향 함수를 계산하는 일반 목적 도구로 얼마나 널리 활용될 수 있는가?

주요 결과

• BATHFIT 1은 낮은 K로도 α(t)를 지수 합 형태로 매우 정확하게 피팅하여 경로 적분 시뮬레이션에서 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 해석적으로 다룰 수 있는 J(ω) 형태(예: 드류드, 로렌츠, 오믹)에 대해서는 패드 분해가 뛰어난 초기 매개수 추정치를 제공하여 비선형 피팅의 수렴 속도를 가속화한다.
• 이 도구는 QUAPI 및 관련 수치적 경로 적분 방법에 필수적인 이산화된 영향 함수 계수를 신속하고 정확하게 계산할 수 있도록 한다.
• 적합된 매개수에서 유도된 α(t) 표현으로부터 J(ω)를 재구성함으로써 사용자가 주파수 도메인에서 α(t) 표현의 품질을 검증할 수 있다.
• 해석적 또는 수치적 α(t) 평가가 가능한 광범위한 스펙트럼 분포 클래스(준오믹, 초오믹 포함)에 대해 높은 정밀도를 달성한다.
• Mathematica 보조 스크립트의 포함으로 해석적으로 알려진 α(t)에 대해 영향 함수 계수의 해석적 유도가 가능해져 재현 가능성과 통찰력이 향상된다.