[논문 리뷰] Optimal scalar products in the Standard Linear Viscoelastic Model

Marta Pellicer, J. Solà‐Morales|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 4인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 제3형 표준 선형 점탄성 모델의 해에 대한 최적의 지수 감쇠 비율을 확립한다. 새로운 등가 내적을 구성함으로써 무한소 생성자가 정규가 되게 하고, 완전한 orthonormal 고유함수 기저를 확보한다. 주요 기여는 대부분의 매개변수 영역에서 세미군생성자가 이 새로운 메트릭에서 정규임을 증명함으로써 스펙트럼 경계와 정확히 일치하는 날카운 감쇠 추정치를 도출하는 것이다.

ABSTRACT

We study the third order in time linear dissipative wave equation known as the Standard Linear Viscoelastic Model, that appears also as the linearization of the so-called Moore-Gibson-Thompson equation in Nonlinear Acoustics. We complete the description in a paper by R. Marchand et al. (2012) of the spectrum of the generator of the corresponding group of operators and show that, apart from some exceptional values of the parameters, this generator can be made to be a normal operator with a new scalar product, with a complete set of orthogonal eigenfunctions. Using this property we also obtain sharper decay estimates for the solutions as time tends to infinity, both when the operator is normal or not.

연구 동기 및 목표

• 표준 선형 점탄성 모델에서의 무한소 생성자에 대한 스펙트럼 분석을 완료함. 특히 시간에 대해 제3형 소산파 방정식에 초점을 맞춘다.
• 무한소 생성자가 새로운 등가 내적에서 정규가 되는 조건을 규명한다.
• 해가 $t \to \infty$로 갈수록 최적의 날카운 감쇠 추정치를 도출한다. 이는 생성자가 정규일 때와 아닐 때 모두 적용된다.
• 스펙트럼 이론과 다양한 힐버트 공간 설정에서의 함수해석 기법을 활용하여 이전의 감쇠 비율 결과를 통합하고 확장한다.

제안 방법

• 무한소 생성자 $A$가 정규가 되게 하는 새로운 내적 $G$를 구성함으로써, 완전한 orthonormal 고유함수 기저를 확보한다.
• 스펙트럼 $L$의 고유값과 관련된 특성방정식의 스펙트럼 분석을 통해 루트 $\lambda_j^n$의 행동을 $m_1, m_2$ (카르다노 판별식의 루트)에 따라 분류한다.
• 유한차원 $\mathcal{H}_i^1$ (고유값이 비정규적일 수 있음) 과 무한차원 $\mathcal{H}_i^0$ (여기서 $A$가 정규임) 으로 힐버트 공간을 분해하여 비정규 케이스를 다룬다.
• 선형대수학의 기존 결과를 적용하여 유한차원 부분공간 $\mathcal{H}_i^1$ 에서 등가 내적을 정의함으로써, 세미군의 노름이 $\sigma_{\text{max}}(A_1) + \varepsilon$ 에 가까운 속도로 감쇠되도록 한다. 여기서 $\varepsilon > 0$.
• 새로운 내적 $G$가 원래 노름과 등가임을 증명함으로써, 새로운 메트릭이 잘 정의되고 물리적으로 의미가 있음을 보장한다.
• 정규 케이스에서는 정규 고유함수 기저를 사용하고, 비정규 케이스에서는 섭동 이론을 적용하여 스펙트럼 경계 $\sigma_{\text{max}}$ 와 정확히 일치하는 최적 감쇠 비율을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $\alpha, \beta > 0$ 와 $L$ 의 고유값에 대해, 무한소 생성자 $A$ 가 새로운 내적에서 정규가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 무한소 생성자가 정규가 아닐 때에도 표준 선형 점탄성 모델의 해에 대한 최적 감쇠 비율을 정확히 특성화할 수 있는가?
• RQ3 비정규 고유값이 존재할 경우, 스펙트럼 경계 $\sigma_{\text{max}}$ 와 해의 실제 감쇠 비율 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 어떻게 하면 원래 노름과 등가이면서도 $A$ 를 정규화하고 완전한 orthonormal 고유함수 기저를 갖는 새로운 내적을 구성할 수 있는가?
• RQ5 주어진 고유값이 실수일 필요 없이도 감쇠 비율 $-1/\beta$ 가 최적 비율로 달성될 수 있는가? 이는 $A$ 의 스펙트럼과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 무한소 생성자 $A$ 는 카르다노 판별식의 루트인 $m_1, m_2$ 를 포함한 특정 조건을 만족할 때에만 새로운 등가 내적 $G$ 에서 정규가 된다.
• 생성자가 정규일 경우, 시스템은 완전한 orthonormal 고유함수 기저를 갖게 되며, 이는 정확한 스펙트럼 분해와 $\|U(t)\|_G^2 \leq \|U(0)\|_G^2 e^{2\sigma_{\text{max}} t}$ 를 통한 최적 감쇠 추정치를 가능하게 한다.
• 최적 감쇠 비율 $\sigma_{\text{max}}$ 는 어떤 $n$ 에 대해 $\operatorname{Re}(\lambda_2^n)$ 이거나 $-1/\beta$ 이며, 이 경계는 명백한 해를 통해 이 비율로 감쇠하는 예시를 제시함으로써 날카로움이 입증된다.
• 비정규 케이스에서는 일부 고유값이 중복되고 기하다중도가 대수다중도보다 작을 수 있으나, 여전히 최적 감쇠 비율은 $\sigma_{\text{max}}$ 이며, 이는 유한차원 스펙트럼 부분공간에 대해 등가 내적을 구성함으로써 달성된다.
• 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 유한차원 부분공간 $\mathcal{H}_i^1$ 에서 $\|e^{A_1 t}\|_{G_{1,\varepsilon}} \leq e^{(\sigma_{\text{max}}(A_1) + \varepsilon)t}$ 를 만족하는 새로운 내적 $G_{1,\varepsilon}$ 를 정의할 수 있다. 여기서 $\sigma_{\text{max}}(A_1) < -1/\beta$ 이므로, 주된 감쇠는 정규 부분에 의해 결정된다.
• 정규 부분공간에 대한 $G_0$ 와 $G_{1,\varepsilon}$ 의 직교 확장을 통해 구성된 새로운 내적 $G'$ 는 원래 노름과 등가이며, 이 내적에서 최적 감쇠 비율 $\sigma_{\text{max}}$ 가 달성되며, 이는 스펙트럼 경계의 날카로움을 확인한다.