[논문 리뷰] Optimal short-time measurements for Hamiltonian learning

Assaf Zubida, Elad Yitzhaki외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 짧은 시간 동역학을 이용한 최적의, 시스템 크기에 의존하지 않는 측정 프로토콜을 제안한다. 짧은 시간 동역학을 이용해 짧은 거리의 양자 해밀토니안을 학습한다. 무작위 및 데 randm화된 상태 준비와 국소 측정을 활용하여, 시간 도함수 관측량의 선형 역행렬을 통해 효율적인 재구성에 성공한다. 해밀토니안의 대칭성과 가환 관측량의 군집화를 통해 오차 스케일링을 향상시킨다.

ABSTRACT

Characterizing noisy quantum devices requires methods for learning the underlying quantum Hamiltonian which governs their dynamics. Often, such methods compare measurements to simulations of candidate Hamiltonians, a task which requires exponential computational complexity. Here, we propose efficient measurement schemes based on short-time dynamics which circumvent this exponential difficulty. We provide estimates for the optimal measurement schedule and reconstruction error, and verify these estimates numerically. We demonstrate that the reconstruction requires a system-size independent number of experimental shots, and identify a minimal set of state preparations and measurements which yields optimal accuracy for learning short-ranged Hamiltonians. Finally, we show how grouping of commuting observables and use of Hamiltonian symmetries improve the accuracy of the Hamiltonian reconstruction.

연구 동기 및 목표

• 장시간 동역학에서의 해밀토니안 학습에서 기하급수적 증가하는 고전적 복잡도를 해결한다.
• 해밀토니안 재구성에 필요한 다체 동역학 시뮬레이션의 계산적 병목 현상을 극복한다.
• 최소한의 실험 샷 수와 고전적 계산으로 정확한 재구성을 보장하는 측정 프로토콜을 개발한다.
• 단거리 해밀토니안에 대해 최적의 정확도를 보장하는 최소한의 고정된 초기 상태 및 측정 기저의 집합을 규명한다.
• 시간 역행 대칭성과 가환 관측량 군집화를 활용해 재구성 오차를 추가로 감소시킨다.

제안 방법

• 해밀토니안 매개변수에 선형적으로 의존하는 짧은 시간 동역학을 사용하여 기하급수적 시뮬레이션 복잡도를 피한다.
• 재구성을 선형 시스템 $\vec{b} = K\vec{c}$ 로 공식화하며, $\vec{b}$ 는 시간 도함수 측정값을 포함하고 $K$ 는 초기 상태와 관측량으로 사전 계산된다.
• 해밀토니안 계수 $\vec{c}$ 를 측정된 $\vec{b}$ 에서 복원하기 위해 의사역행렬 $K^+ = (K^T K)^{-1} K^T$ 를 적용한다.
• 초기 상태와 측정 기저를 고정하여 보장된 정확도를 확보하는 데 랜덤화되지 않은 프로토콜을 구현한다.
• 가환 관측량을 군집화하고 시간 역행 대칭성(예: $Y \mapsto -Y$)을 활용하여 체계적 오차를 감소시키고 스케일링을 향상시킨다.
• 해밀토니안에 대한 근사적인 사전 지식을 기반으로 최적의 측정 시간을 추정하여 재구성 오차를 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짧은 시간 동역학은 최소한의 실험 샷 수로 시스템 크기에 의존하지 않는 해밀토니안 학습을 가능하게 하는가?
• RQ2 단거리 해밀토니안 학습에서 재구성 오차를 최소화하기 위한 최적의 측정 스케줄링과 시간은 무엇인가?
• RQ3 시간 역행 불변성과 같은 대칭성은 재구성 오차의 스케일링에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 랜덤화되지 않은 초기 상태 및 측정 기저의 고정된 집합이 무작위 프로토콜과 동일한 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 가환 관측량을 군집화함으로써 요구되는 측정 수를 얼마나 줄일 수 있으며, 오차 스케일링은 얼마나 향상될 수 있는가?

주요 결과

• 프로토콜은 시스템 크기에 의존하지 않는 재구성을 달성하며, 시스템 크기와 관계없이 일정한 수의 실험 샷 수만 필요로 한다.
• 시간 역행 대칭성을 고려할 경우 $XXZ$ 해밀토니안의 재구성 오차는 $N^{-1/3}$ 으로 스케일링되며, 일반적인 $N^{-1/4}$ 스케일링보다 뛰어나다.
• 최적의 측정 시간은 해밀토니안에 대한 근사적인 사전 지식을 기반으로 수치적으로 추정되며, 선형 근사에서의 체계적 오차를 최소화한다.
• 데 randm화되지 않은 프로토콜은 고정된 최소한의 초기 상태 및 측정 기저 집합을 사용하여 랜덤화된 방법과 동일한 정확도를 보장한다.
• 가환 관측량 군집화와 대칭성 활용은 측정 오버헤드와 재구성 오차를 모두 감소시키며, 특히 대칭성이 높은 해밀토니안에서 두드러진다.
• 기본 프로토콜 대비 오차 스케일링에서 $\log n$ 요소 하나를 효과적으로 제거하여 고차원 시스템에서의 효율성을 향상시킨다.