[논문 리뷰] Optimal simplex finite-element approximations of arbitrary order in curved domains circumventing the isoparametric technique

Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 등고선 영역에서 등고선 요소를 사용하지 않고도 최적의 근사 순서를 달성하는 새로운 유한요소법을 제안한다. 직선 메esh 위에서 다항식 기반 보간을 사용하고 경계 노드를 기하학적 투영을 통해 정의함으로써, 이 방법은 최적 수렴 속도를 유지하면서도 정확한 적분을 가능하게 하고, 2차원 및 3차원 영역에서 임의의 순서의 라그랑주 요소에 대한 구현을 단순화한다.

ABSTRACT

Since the 1960's the finite element method emerged as a powerful tool for the numerical simulation of countless physical phenomena or processes in applied sciences. One of the reasons for this undeniable success is the great versatility of the finite-element approach to deal with different types of geometries. This is particularly true of problems posed in curved domains of arbitrary shape. In the case of function-value Dirichlet conditions prescribed on curvilinear boundaries method's isoparametric version for meshes consisting of curved triangles or tetrahedra has been mostly employed to recover the optimal approximation properties known to hold for standard straight-edged elements in the case of polygonal or polyhedral domains. However, besides obvious algebraic and geometric inconveniences, the isoparametric technique is helplessly limited in scope and simplicity, since its extension to degrees of freedom other than function values is not straightforward if not unknown. The purpose of this paper is to propose, study and test a simple alternative that bypasses all the above drawbacks, without eroding qualitative approximation properties. More specifically this technique can do without curved elements and is based only on polynomial algebra. REMARKS : First submission (dated Jan. 3, 2017) updated on Jan. 11, 2017 with the addition of a footnote on author's research grant. A third version with several improvements was posted on Nov. 2, 2017. The fourth version incorporated some findings during the revision of a related paper. In the fifth version, besides minor changes, the convection-diffusion equation became the model problem; the text was reviewed in order to highlight the advantages of the new approach over classical techniques, more particularly by means of additional numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 등고선 영역에서 등고선 요소의 한계를 극복하기 위해, 특히 유리 함수 적분의 복잡성과 기능값 이외의 자유도로의 확장을 어렵게 하는 문제를 해결한다.
• 임의의 순서의 라그랑주 요소에 대해 2차원 및 3차원 등고선 영역에서 최적 수렴 속도를 유지하면서도 간단하고 구현 가능한 대안을 개발한다.
• 등고선 요소나 복잡한 기하학적 매핑을 요구하지 않고도 최적의 근사 성질을 유지할 수 있도록 하며, 특히 법선 성분이나 도함수를 자유도로 가지는 문제에 특화한다.
• 정확한 수치 적분을 지원하고 경계 노드 배치로 인한 정확도 손실을 방지하는 프레임워크를 제공한다.
• 안정성과 수렴 성질을 손상시키지 않고 고차원 유한요소의 적용 범위를 복잡한 기하구조로 확장한다.

제안 방법

• 이 방법은 등고선 영역에서 직선 N-단체 메esh(삼각형/타 tetrahed론)를 사용하며, 등고선 매핑을 피하기 위해 경계 노드를 기하학적 투영을 통해 정의한다.
• 경계 자유도는 피부 영역(이중각의 평면 이등분선으로 정의됨) 내에서 모서리 노드에서 수직선을 그어 진짜 등고선 경계와의 교차점으로 위치한 보간점에 의해 강제로 적용된다.
• 경계에 면을 가진 각 요소에 대해, 원래 요소와 메쉬 면과 진짜 경계 사이의 영역을 합집합으로서 개념적으로 새로운 등고선 요소를 정의함으로써 일관된 노드 배치를 가능하게 한다.
• 함수 공간 $ W_h $ 는 직선 요소 위의 라그랑주 노드와 등고선 경계 위의 투영된 노드를 사용하여 구성되며, 2차원에서는 연속성과 적합성을, 3차원에서는 준적합성을 보장한다.
• 가우스킨 포지션은 표준 유한요소법과 동일한 변분 구조를 사용하지만, 진짜 경계에서 딜레르흐 경계 조건을 강제하기 위해 보간점이 수정된다.
• 모든 적분식이 다항식을 유지하므로 정확한 적분이 보장되며, 이는 등고선 형식에서 흔히 발생하는 구적 오차를 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등고선 영역에서 등고선 요소를 사용하지 않고도 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 직선 요소와 다항식 대수만을 사용하여 등고선 경계에서 딜레르흐 경계 조건을 어떻게 강제로 적용할 수 있는가?
• RQ3 구현을 단순화하고 정확한 적분을 가능하게 하면서도 최적의 근사 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 경계 노드의 위치가 고차원 유한요소법의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 3차원 문제와 혼합 유한요소 형식으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 등고선 영역에서 임의의 순서의 라그랑주 유한요소에 대해 에너지 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하며, 등고선 방법과 동일한 성능을 보인다.
• 2차원에서는 최적의 $ L^2 $-오차 추정치를 보장하며, 저자의 지식으로는 이 분야에서 전례가 없는 결과이다.
• 모든 적분식이 다항식을 유지하므로 스태프니스 행렬의 정확한 수치 적분이 가능하며, 등고선 형식에서 흔히 발생하는 구적 오차를 피할 수 있다.
• 이 방법은 2차원 및 3차원 모두에서 구현이 간단하고 강건하여 등고선 요소나 복잡한 기하학적 매핑이 필요하지 않다.
• 이 방법은 기능값 이외의 자유도를 가지는 문제, 예를 들어 법선 도함수나 법선 성분에 자연스럽게 확장되며, 등고선 방법의 유사체가 정의되지 않거나 구축하기 어려운 경우에 유리하다.
• 2차원 및 3차원 모두에서 이산 문제의 존재성, 유일성 및 균일 안정성을 이론적으로 확립하였으며, 오차 추정치는 3차원으로 일반화되었지만 기술적 복잡성이 증가한다.