[논문 리뷰] Optimal Skorokhod embedding given full marginals and Azema-Yor peacocks

Sigrid Källblad, Xiaolu Tan외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 02.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전체 마진 제약 조건 하에서 최적의 Skorokhod 임베딩 문제에 대한 일반적인 이중성 결과를 수립하며, 이는 이전의 유한 시간 마진 결과를 연속 시간 마진으로 확장한 것이다. 보상 함수가 마틴갈의 최대값에 의존할 경우, Azéma-Yor 임베딩 및 마틴갈 운반 이론의 점진적 접근을 통해 최적의 임베딩과 그 이중성을 특성화하여, 극단적 peacock 과정에 대한 명시적 해를 도출한다.

ABSTRACT

We consider the optimal Skorokhod embedding problem (SEP) given full marginals over the time interval $[0,1]$. The problem is related to the study of extremal martingales associated with a peacock ("process increasing in convex order", by Hirsch, Profeta, Roynette and Yor). A general duality result is obtained by convergence techniques. We then study the case where the reward function depends on the maximum of the embedding process, which is the limit of the martingale transport problem studied in Henry-Labordere, Obloj, Spoida and Touzi. Under technical conditions, some explicit characteristics of the solutions to the optimal SEP as well as to its dual problem are obtained. We also discuss the associated martingale inequality.

연구 동기 및 목표

• 유한 마진 최적 Skorokhod 임베딩의 이중성 결과를 [0,1]에서 전체 마진 사례로 확장하기.
• 최대값에 의존하는 보상 함수와 관련된 주어진 peacock 과정과 연결된 최적의 마틴갈 peacock를 특성화하기.
• 반복된 Azéma-Yor 임베딩에서의 점진적 접근을 이용하여 최적의 원본 및 이중 해의 명시적 표현을 도출하기.
• 주어진 마진을 갖는 극단적 마틴갈을 통해 모델 독립적 외환 옵션 가격의 범위를 설정하기.
• 연속 시간 마진 제약 조건과 최대 기반 보상에 대한 마틴갈 운반 접근법을 일반화하기.

제안 방법

• 유한 마진에 대한 Guo, Tan, and Touzi (2015)의 이중성 결과의 극한을 취하여 전체 마진 조건 하에서 최적의 Skorokhod 임베딩에 대한 일반적인 이중성 결과를 유도한다.
• 수렴 기법을 적용하여 반복된 Azéma-Yor 임베딩을 유한 마진에서 연속 시간 마진 제약 조건으로 확장한다.
• 마틴갈 Spence-Mirrlees 조건과 점진적 접근을 사용하여 최적의 값과 최적화자를 특성화한다.
• Kellerer의 정리에 기반하여 주어진 마진을 갖는 마틴갈의 존재를 보장하고, Monroe의 임베딩 정리에 의해 정지 시간의 존재를 확보한다.
• 유한 마진 문제의 해의 극한을 이용하여 원본 및 이중 최적화자를 구성하며, 오른쪽 연속성과 균일 적분 가능성을 활용한다.
• 랜덤 시간 변화를 갖는 표준 공간을 사용하고, 경로 공간 위의 Lévy 거리와 Borel 시그마-필드를 이용하여 핵심 함수의 가측성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 개의 마진에서 전체 연속 시간 마진 제약 조건 [0,1]으로의 최적 Skorokhod 임베딩의 이중성 프레임워크는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 보상 함수가 마틴갈 과정의 최대값에 의존할 경우 최적의 임베딩의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 유한 마진 사례에서 반복된 Azéma-Yor 임베딩과 관련된 전체 마진 문제의 원본 및 이중 최적화자 간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 주어진 마진을 갖는 극단적 peacock 과정으로부터 유도된 외환 옵션 가격의 모델 독립적 상한은 무엇인가?
• RQ5 기술적 조건 하에서 유한 마진 해의 수렴이 전체 마진 해로의 수렴을 엄밀히 정당화할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 마진 이중성 결과의 수렴을 통해 전체 마진 조건 하에서 최적의 Skorokhod 임베딩 문제에 대한 일반적인 이중성 결과가 수립된다.
• 최대값에 의존하는 보상에 대한 최적의 해는 유한 마진 사례에서의 반복 Azéma-Yor 임베딩의 극한으로 특성화된다.
• 최적의 값과 원본/이중 최적화자는 peacock의 누적 분포와 최대 과정에 대해 명시적으로 기술된다.
• 경로 공간 위의 Lévy 거리와 지배 수렴 정리를 사용하여 유한 마진 해의 전체 마진 해로의 수렴이 증명된다.
• 이중 문제의 해가 보상 함수의 볼록 하한수에 관련되어 있음을 보이며, 이는 유한 마진 설정에서 알려진 결과를 확장한다.
• 논문은 최적의 마틴갈이 peacock임을 확인하고, 시간 변화가 가해진 브라운 운동을 통한 경로 기반 실현을 위한 구축 방법을 제공한다.