[논문 리뷰] Optimal Solution of Nonlinear Fuzzy Optimization Problem under Linear Order Relation

Umme Salma M. Pirzada|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 23.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 후쿠하라(gH) 미분 가능성과 퍼지 수에 대한 선형 순서 관계를 사용하여 비제약 다변수 비선형 퍼지 최적화 문제를 위한 새로운 必要 및 충분 조건을 제안한다. 이전의 방법이 후쿠하라 미분 가능성과 부분 순서에 의존하는 것과 달리, 이 접근법은 비가역 수준 함수를 포함한 더 넓은 범위의 퍼지 값 함수에 대한 최적성 분석을 가능하게 하며, 선형 순서에 의해 모든 퍼지 수가 비교 가능하게 하여 일반적인 적분형 최적성 조건을 도출함으로써 더 광범위한 문제에 적용 가능한 보편적인 조건을 제공한다.

ABSTRACT

Multi-variable nonlinear fuzzy optimization problem is considered under linear order relation on fuzzy numbers. Using gH-differentiability of a fuzzy-valued function $ ilde{f}$, new necessary and sufficient optimality conditions are proposed. The optimality conditions are obtained without putting additional conditions on fuzzy-valued functions like, convexity, quasi-convexity, pseudo-convexity. Optimum solution of the fuzzy optimization problem is obtained based on the optimality conditions. Illustrations and a case study are given to explain the numerical applications of the proposed results. Comparison of optimality conditions from existing literature is given.

연구 동기 및 목표

• 후쿠하라 미분 가능성에 의존하는 기존 방법이 허용하는 미분 가능한 퍼지 값 함수의 범주를 제한한다는 점을 해결하기 위해.
• 퍼지 최대값과 같은 부분 순서 관계에서 퍼지 수의 비교 불가능성 문제를 해결하기 위해.
• 특정 매개변수나 α-레벨에 종속되지 않는 최적성 조건을 개발하기 위해.
• 비선형 문제의 더 넓은 범주로 퍼지 최적화의 적용 가능성을 확장하기 위해.
• 비제약 퍼지 최적화에서 국소 및 전역 최소화자를 찾는 데 사용할 수 있는 일반적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 후쿠하라 미분 가능성의 범위를 초월하는 후속 가능성을 정의하기 위해 일반화된 후쿠하라(gH) 미분 가능성을 사용하여 퍼지 값 함수의 미분 가능성을 정의한다.
• 모든 퍼지 수가 비교 가능하도록 퍼지 수에 대한 선형 순서 관계를 적용하여 부분 순서에서 발생하는 비교 불가능성 문제를 방지한다.
• α-레벨 집합에서 적분 형태로 필요 및 충분 최적성 조건을 유도하며, α ∈ [0,1]에 대해 통합하여 이산적인 α-값에 대한 의존성을 피한다.
• 수준 함수의 기울기와 헤시안 행렬의 적분을 분석하여 비제약 다변수 퍼지 최적화 문제에 최적성 조건를 적용한다.
• 퍼지 수를 α-레벨 집합을 통해 표현하고, 덧셈, 스칼라 곱셈 등의 연산을 이러한 구간에서 수행하기 위해 분해 정리를 사용한다.
• 수치 예제와 사례 연구를 통해 결과를 검증하며, Pathak과 Pirzada(2011)의 예제 1에서 기존의 오류를 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퍼지 값 함수에 대해 볼록성이나 기타 구조적 제약 조건을 가정하지 않고도 비선형 퍼지 최적화의 최적성 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ2 gH-미분 가능성은 후쿠하라 미분 가능성의 범위를 초월하여 더 넓은 범위의 퍼지 함수를 미분 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 선형 순서 관계를 사용하여 모든 퍼지 수가 비교 가능하게 할 수 있으며, 이는 일관된 최적화 프레임워크를 가능하게 하는가?
• RQ4 특정 α-레벨이나 매개변수에 종속되지 않는 최적성 조건의 형태는 무엇이며, 이는 더 넓은 적용 가능성을 보장하는가?
• RQ5 기존의 후쿠하라 미분 가능성과 부분 순서에 기반한 방법에 비해 제안된 최적성 조건는 일반성과 적용 가능성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 최적성 조건는 α ∈ [0,1]에 대해 적분 형태로 표현되어 특정 α-레벨에 종속되지 않으며, 매개변수 조건보다 더 일반적이다.
• 주어진 퍼지 값 함수에 대해 (x₁, x₂) = (173/26, 108/13)에서 임계점을 성공적으로 식별하였으며, 헤시안 테스트를 통해 엄격한 국소 최대값으로 확인되었다.
• 표 2에서 보듯이, gH-미분 가능한 함수의 범주는 후쿠하라-미분 가능한 함수의 범주보다 훨씬 넓으며, sin(x)와 e^x와 같은 함수가 모든 실수에서 포함된다.
• 선형 순서 관계는 부분 순서인 퍼지 최대값 순서와 달리 모든 퍼지 수가 완전히 비교 가능하게 한다.
• 최적성 조건는 하한 및 상한 수준 함수가 임계점에서 미분 가능하지 않은 퍼지 값 함수에도 적용 가능하며, 예를 들어 x₁ = x₂ = 0에서의 경우에도 적용 가능하다.
• 이 방법은 Pathak과 Pirzada(2011)의 예제 1에서 오류를 수정하여 더 높은 정확도와 강건성을 입증하였다.