[논문 리뷰] Optimal Sorting with Persistent Comparison Errors

Barbara Geissmann, Stefano Leucci외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 20.

Algorithms and Data Compression인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지속적인 비교 오류 하에서 최초로 O(n log n) 시간 복잡도를 가지며, 높은 확률로 최적의 O(log n) 최대 이질성과 O(n) 총 이질성을 달성하는 알고리즘을 제안한다. 이는 거의 정렬된 순서에서 근사 이진 탐색과 동시에 삽입을 위한 새로운 기법을 도입함으로써 이전의 초선형 시간 복잡도 한계를 넘어섰으며, 정보 이론적 하한선과 일치한다.

ABSTRACT

We consider the problem of sorting $n$ elements in the case of \emph{persistent} comparison errors. In this model (Braverman and Mossel, SODA'08), each comparison between two elements can be wrong with some fixed (small) probability $p$, and \emph{comparisons cannot be repeated}. Sorting perfectly in this model is impossible, and the objective is to minimize the \emph{dislocation} of each element in the output sequence, that is, the difference between its true rank and its position. Existing lower bounds for this problem show that no algorithm can guarantee, with high probability, \emph{maximum dislocation} and \emph{total dislocation} better than $Ω(\log n)$ and $Ω(n)$, respectively, regardless of its running time. In this paper, we present the first \emph{$O(n\log n)$-time} sorting algorithm that guarantees both \emph{$O(\log n)$ maximum dislocation} and \emph{$O(n)$ total dislocation} with high probability. Besides improving over the previous state-of-the art algorithms -- the best known algorithm had running time $ ilde{O}(n^{3/2})$ -- our result indicates that comparison errors do not make the problem computationally more difficult: a sequence with the best possible dislocation can be obtained in $O(n\log n)$ time and, even without comparison errors, $Ω(n\log n)$ time is necessary to guarantee such dislocation bounds. In order to achieve this optimal result, we solve two sub-problems, and the respective methods have their own merits for further application. One is how to locate a position in which to insert an element in an almost-sorted sequence having $O(\log n)$ maximum dislocation in such a way that the dislocation of the resulting sequence will still be $O(\log n)$. The other is how to simultaneously insert $m$ elements into an almost sorted sequence of $m$ different elements, such that the resulting sequence of $2m$ elements remains almost sorted.

연구 동기 및 목표

• 지속적인 비교 오류 하에서 최적의 이질성 범위와 달성 가능한 실행 시간 간 격차를 메우기 위해.
• 높은 확률로 최대 이질성 O(log n)와 총 이질성 O(n)를 동시에 달성하는 알고리즘을 설계하기 위해.
• 비교 오류가 비교 기반 정렬의 고전적 Ω(n log n) 하한선을 초과하는 계산 복잡도를 증가시키지 않는다는 것을 보여주기 위해.
• 오류 발생 가능성이 있는 비교 하에서 거의 정렬된 순서에서 근사 순위 계산과 동시에 삽입을 위한 효율적인 서브루틴을 개발하기 위해.

제안 방법

• 최대 이질성 O(log n)를 가지는 거의 정렬된 순서를 생성하기 위해 수정된 병합 정렬인 RiffleSort를 사용하는 랜덤화된 알고리즘을 설계하기 위해.
• 시퀀스의 최대 이질성 d일 때 진짜 순위로부터 O(max{d, log n}) 이내의 덧셈 오차를 갖는 새로운 근사 검색 절차를 도입하기 위해.
• 모집합 기반 접근을 통해 후보 순위를 비교 불일치 수를 세어 테스트하고, 찬프의 부등식을 활용해 높은 확률로 정확성을 보장하기 위해.
• 거의 정렬된 순서에 O(log n) 개의 요소를 동시에 삽입하기 위해 불일치 수 계산 전략을 사용하여 최대 이질성 O(log n)를 유지하기 위해.
• 반복적으로 크기 O(log n)인 소규모 부분집합을 선택하고 정렬한 후, 주 순서에 다시 삽입하는 재귀 전략을 적용하여 이질성 범위를 유지하기 위해.
• 서브루틴의 성공 확률을 유니온 바OUNDS를 통해 조합하여 전체적으로 높은 확률의 정확성을 확보하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지속적인 비교 오류 하에서 O(n log n) 시간 복잡도를 가지는 알고리즘이 최적의 최대 이질성 O(log n)와 최적의 총 이질성 O(n)를 동시에 달성할 수 있는가?
• RQ2 지속적인 오류가 존재하는 상황에서 진짜 순위로부터 O(log n) 이내의 근사 순위를 얻을 수 있는 근사 이진 탐색이 가능한가?
• RQ3 거의 정렬된 순서에 여러 요소를 동시에 삽입하면서도 O(log n) 이질성 범위를 유지할 수 있는가?
• RQ4 지속적인 비교 오류가 고전적 Ω(n log n) 하한선 이하의 시간 복잡도를 증가시키는 데 본질적으로 기여하는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 높은 확률로 O(log n) 최대 이질성과 O(n) 총 이질성을 달성하며, Braverman와 Mossel이 확립한 정보 이론적 하한선과 정확히 일치한다.
• 알고리즘은 O(n log n) 시간 복잡도로 실행되며, 이는 이와 유사한 이질성 범위를 달성하는 데 이전까지 알려진 최선의 시간 복잡도 Õ(n^{3/2})보다 향상된 것이다.
• O(log n) 개의 요소를 삽입한 후에도 최대 이질성은 O(log n) 유지되며, 이질성은 오직 덧셈 O(log n) 항만 증가한다.
• O(log n) 개의 요소 삽입으로 인해 총 이질성은 O(log²n) 증가하지만, 전체 O(n) 기준으로 보면 무시할 만한 수준이다.
• 알고리즘의 성공 확률은 최소 1 − 1/n이며, 이는 높은 확률로 성공하는 서브루틴들을 유니온 바OUNDS를 통해 조합함으로써 달성된다.
• 결과적으로 지속적인 비교 오류가 정렬 문제의 계산 복잡도를 표준 비교 기반 정렬보다 더 어렵게 만들지 않으며, 최적의 시간 복잡도 O(n log n)가 그대로 유지됨을 시사한다.