[논문 리뷰] Optimal Sparse Output Feedback Control Design: a Rank Constrained Optimization Approach

Reza Arastoo, Nader Motee외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 29.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 44인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 선형 시간 불변 시스템에 대한 최적의 희박 출력 피드백 제어기 설계를 위해 랭크 제약 최적화 프레임워크를 제안한다. 비볼록적인 희박성 촉진 문제를 랭크 최소화 문제로 변환한다. ADMM와 $\varepsilon$-하나의 기울기 방법을 활용하여 전역 수렴을 보장하는 부분 최적 해를 도출하며, 제어 입력/출력 노름 제약 조건을 통합하고 안정성과 성능 경계가 보장된 구조적 제어기 합성도 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the problem of optimal sparse output feedback controller synthesis for continuous linear time invariant systems when the feedback gain is static and subject to specified structural constraints. Introducing an additional term penalizing the number of non-zero entries of the feedback gain into the optimization cost function, we show that this inherently non-convex problem can be equivalently cast as a rank constrained optimization, hence, it is an NP-hard problem. We further exploit our rank constrained approach to define a structured output feedback control feasibility test with global convergence property, then, obtain upper/lower bounds for the optimal cost of the sparse output feedback control problem. Moreover, we show that our problem reformulation allows us to incorporate additional implementation constraints, such as norm bounds on the control inputs or system output, by assimilating them into the rank constraint. We propose to utilize a version of the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) as an efficient method to sub-optimally solve the equivalent rank constrained problem. As a special case, we study the problem of designing the sparsest stabilizing output feedback controller, and show that it is, in fact, a structured matrix recovery problem where the matrix of interest is simultaneously sparse and low rank. Furthermore, we show that this matrix recovery problem can be equivalently cast in the form of a canonical and well-studied rank minimization problem. We finally illustrate performance of our proposed methodology using numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 구조적 및 성능 제약 조건 하에 최적의 희박 출력 피드백 제어기 합성 문제인 NP-난이도 문제를 해결하기 위해.
• 본질적으로 비볼록적인 희박 제어기 설계 문제를 랭크 제약 최적화 문제로 재구성하여 전역 수렴과 성능 경계를 가능하게 하기 위해.
• 실제 구현 제약 조건인 제어 입력과 시스템 출력의 노름 한계를 제어기 설계 프레임워크에 통합하기 위해.
• ADMM를 사용하여 랭크 제약 문제의 부분 최적 해를 효율적으로 도출하는 계산적으로 효율적인 방법을 개발하기 위해.
• 가장 희박한 안정화 제어기 설계가 구조적 낮은 랭크이자 희박한 행렬 복원 문제와 동치임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비볼록적인 $\varepsilon$-노름을 랭크 제약 조건으로 대체함으로써 희박 출력 피드백 제어 문제를 랭크 제약 최적화 문제로 재구성한다.
• 다중수렴 방법의 교대적 방법(ADMM)을 사용하여 이완된 랭크 제약 최적화 문제를 반복적으로 해결하며, 해를 랭크-$n$ 행렬로 투영한다.
• 희박성 촉진을 위해 $\varepsilon_0$-노름을 근사하기 위해 재가중 $\varepsilon$-노름 최소화 전략을 도입한다.
• 제어 입력과 시스템 출력의 노름 제약 조건을 랭크 제약 프레임워크에 통합하여 통합한다.
• 랭크 제약 기반의 타당성 테스트를 활용하여 희박 제어 문제의 최적 비용에 대한 상한과 하한을 유도한다.
• 가장 희박한 안정화 제어기 문제를 애매한 랭크 최소화 문제로 감소시켜, 행렬 복원의 표준 문제로 간주한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박 출력 피드백 제어기 설계 문제는 전역 수렴과 성능 경계를 가능하게 하기 위해 등가적으로 랭크 제약 최적화 문제로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 제어 입력과 시스템 출력의 노름 제약 조건은 희박 제어기 설계 프레임워크에 자연스럽게 통합될 수 있는가?
• RQ3 가장 희박한 안정화 제어기와 구조적 낮은 랭크/희박 행렬 복원 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 ADMM 기반 해법은 안정성과 희박성을 유지하면서 얼마나 높은 수준의 부분 최적 성능를 달성하는가?
• RQ5 제어 입력 노름 제약 조건을 도입할 경우, 결과 제어기의 희박성과 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 ADMM를 사용하여 랭크 제약 최적화를 통해 희박 출력 피드백 제어에 대해 부분 최적 해를 도출하며, 전역 수렴 보장을 받는다.
• 16×16 공간적으로 감쇠하는 시스템에 대해, 제어 입력 노름 제약이 없는 경우 희박 제어기는 55개의 비영원소를 가지며 LQR 제어기 대비 9.3% 성능 손실를 보였다.
• 제어 입력 노름을 200으로 제한한 경우, 제어기는 훨씬 덜 희박해졌고(105개의 비영원소), 성능 손실도 더 커져(737.16 대비 639.19) 6% 높았다.
• ADMM의 페널티 파라미터 $\rho$는 수렴을 보장하기 위해 $\lambda$보다 적어도 한 계단 큰 값이어야 한다.
• 가장 희박한 안정화 제어기 문제는 동시에 희박하고 낮은 랭크인 구조적 행렬 복원 문제와 동치이며, 표준 랭크 최소화 문제로 표현될 수 있다.
• 이 방법은 희박 제어 문제의 최적 비용에 대한 상한과 하한을 제공하여 성능 평가 및 벤치마킹이 가능하다.