[논문 리뷰] Optimal Stopping for Strong Markov Processes: Explicit solutions and verification theorems for diffusions, multidimensional diffusions, and jump-processes

Fabián Crocce|Americanae (AECID Library)|2014. 05. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 마코프 과정, 즉 확산, 다차원 확산, 그리고 점프 과정을 포함한 최적 정지 문제에 대한 명시적 해와 검증 정리들을 개발한다. 이는 보상 함수 g를 지배하는 가장 작은 α-초과 함수로서 가치 함수를 특성화한 딩킨의 결과와, 그린 커널을 통한 살미엔의 리에스 표현을 결합하여, 일차원 확산, 점프 과정(비레비 과정 포함), 다차원 확산에 대한 분석적이고 수치적 해법을 가능하게 한다. 응용 사례로는 미국형 풋 옵션과 레비-드라이브된 옴스타인-울렌벡 과정이 포함된다.

ABSTRACT

We consider the optimal stopping problem consisting in, given a strong Markov process, a reward function and a discount rate, finding the stopping time such that the expected reward at the stopping time is maximum. The approach we follow, has two main components: the Dynkin's characterization of the value function as the smallest excessive function dominating the reward; and the Riesz representation of excessive functions in terms of the Green kernel, the main reference being Salminen 85. In the context of one-dimensional diffusions we give a complete characterization of the solution under some assumptions on the reward function. If the optimal stopping problem is a ray, we provide a simple equation to find the boundary and discuss the validity of the smooth fit principle. We include some new examples as the optimal stopping of the skew Brownian motion and the sticky Brownian motion. In particular, we consider cases in which the smooth fit principle fails. In the general case, we propose an algorithm that finds the optimal stopping region when it is a disjoint union of intervals. We also give a simple formula for the value function. Using this algorithm we solve some examples including polynomial rewards. For general Markov processes with continuous sample paths (for instance multidimensional diffusions) we provide a verification theorem and use it to solve a particular problem. Finally we consider one-dimensional strong Markov processes with only positive (or only negative) jumps, and provide another verification theorem for right-sided (left-sided) problems. As applications of our results we address the problem of pricing an American put option in a Lévy market, and also solve an optimal stopping problem for a Lévy driven Ornstein-Uhlenbeck process.

연구 동기 및 목표

• 강한 마코프 과정(확산 및 점프 과정 포함)에 대한 최적 정지 문제의 명시적 해를 제공하는 것.
• 일차원 확산, 다차원 확산, 한쪽 방향 점프 과정에 대한 검증 정리들을 개발하는 것.
• 레비 마켓에서의 미국형 풋 옵션과 레비-드라이브된 옴스타인-울렌벡 과정에 대한 최적 정지 문제와 같은 구체적 문제들을 해결하는 것.
• 부드러운 피팅 원리의 확장 및 그가 실패하는 경우의 분석(비대칭 및 스티키 브라운 운동 포함).
• 최적 정지 영역이 간격들의 서로소 합집합인 경우에 대해 수치 알고리즘을 제안하는 것.

제안 방법

• 가치 함수가 보상 함수 g를 지배하는 가장 작은 α-초과 함수임을 나타내는 딩킨의 특성화를 사용한다.
• Salminen의 리에스 표현을 적용하여 α-초과 함수를 그린 커널 Gα(x,y)를 통해 표현한다.
• 수치적 구현을 위해 그린 커널의 특성함수를 푸리에 역변환을 통해 수치적으로 역행렬화하는 데 푸리에 방법을 활용한다.
• 최적 정지 영역이 간격들의 서로소 합집합인 경우를 다룰 수 있는 수치 알고리즘을 제안하며, 가치 함수에 대한 폐쇄형 공식을 제공한다.
• 일차원 확산과 한쪽 방향 점프 과정(양수 또는 음수 점프만 허용)에 대한 검증 정리들을 유도한다.
• 이론적 프레임워크를 바탕으로 특정 문제들을 해결하며, 점프가 있는 및 없는 옴스타인-울렌벡 과정을 다루고 결과를 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 영역이 한쪽 방향인 일차원 확산 과정에서 최적 정지 문제의 명시적 해는 무엇인가?
• RQ2 비대칭 또는 스티키 브라운 운동과 같은 과정에서 부드러운 피팅 원리가 검증되거나 실패하는지 어떻게 확인할 수 있는가?
• RQ3 최적 정지 영역이 간격들의 서로소 합집합인 경우를 다룰 수 있는 일반적인 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ4 레비-드라이브된 옴스타인-울렌벡 과정에서 최적 정지 문제의 가치 함수는 무엇인가?
• RQ5 검증 및 계산에 사용하기 위해 그린 함수를 푸리에 역변환을 통해 어떻게 수치적으로 근사화할 수 있는가?

주요 결과

• 점프가 있는 옴스타인-울렌벡 과정(α=1)의 경우, 최적 정지 임계값은 x*=1.1442로, 그린 커널과 푸리에 역변환을 사용한 수치적 방법으로 도출되었다.
• 점프가 없는 순수한 옴스타인-울렌벡 과정(α=1)의 경우, 최적 임계값은 x*≈0.5939로, Taylor(1968)의 결과와 일치한다.
• 논문은 비레비 점프 과정에 대한 최적 정지 문제의 첫 번째 알려진 명시적 해를 제시하며, 이 방법의 독창성을 입증한다.
• 계속 영역에서 가치 함수 Vα(x)가 보상 함수 g(x)를 엄격히 지배함을 보여주어 검증 정리의 조건이 만족됨을 확인한다.
• 이산 푸리에 변환을 사용한 수치 방법은 그린 함수 Gα(x,y)의 정확한 근사치를 제공하며, 가치 함수의 실용적 계산을 가능하게 한다.
• 이론적 결과는 부드러운 피팅 원리가 실패할 수 있음을 확인하며, 비대칭 및 스티키 브라운 운동을 포함한 예시들로 이를 입증한다.