[논문 리뷰] Optimal stopping under probability distortions and law invariant coherent risk measures

Denis Belomestny, Volker Kraetschmer|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 14.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 위험 회피적 의사결정에서 흔한 왜곡된 기대값을 갖는 최적 정지 문제를 표준 최적 정지 문제의 순서로 변환하는 새로운 표현을 개발한다. 이는 동적 프로그래밍을 가능하게 한다. 핵심 기여는 시간 일致성을 복원하는 원천 표현을 제공하며, Kusuoka의 표현을 통해 AVaR 및 절대 분산편차와 같은 법 불변 일관 위험 측도로 확장된다. 이는 경험적 검증을 통한 몬테카를로 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study optimal stopping problems with respect to distorted expectations of the form \begin{eqnarray*} \mathcal{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,dG(F_X(x)), \end{eqnarray*} where $F_X$ is the distribution function of $X$ and $G$ is a convex distribution function on $[0,1].$ As a matter of fact, except for $G$ being the identity on $[0,1],$ dynamic versions of $\mathcal{E}(X)$ do not have the so-called time-consistency property necessary for the dynamic programming approach. So the standard approaches are not applicable to optimal stopping under $\mathcal{E}(X).$ In this paper, we prove a novel representation, which relates the solution of an optimal stopping problem under distorted expectation to the sequence of standard optimal stopping problems and hence makes the application of the standard dynamic programming-based approaches possible. Furthermore, by means of the well known Kusuoka representation, we extend our results to optimal stopping under general law invariant coherent risk measures. Finally, based on our novel representations, we develop several Monte Carlo approximation algorithms and illustrate their power for optimal stopping under Average Value at Risk and the absolute semideviation risk measures.

연구 동기 및 목표

• 왜곡된 기대값 하에서 최적 정지 문제의 시간 일치성 부족으로 인해 표준 동적 프로그래밍 접근 방식이 무효화되는 문제를 해결하기 위해.
• 왜곡된 기대값 문제를 표준 최적 정지 문제로 연결하는 새로운 표현을 수립하여 동적 프로그래밍 적용 가능성을 복원하기 위해.
• Kusuoka의 표현을 활용해 프레임워크를 일반 법 불변 일관 위험 측도로 확장하기 위해.
• AVaR 및 절대 분산편차와 같은 위험 측도 하에서 실용적 계산을 위한 몬테카를로 알고리즘을 개발하기 위해.
• AVaR 및 분산편차 위험 측도에 대한 수치 실험을 통해 접근 방식을 경험적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 왜곡된 기대값 기능을 표준 최적 정지 문제의 순서로 재구성하는 원천 표현을 도입하여 시간 일致성 문제를 우회한다.
• Kusuoka의 표현을 활용해 왜곡 함수에서 일반 법 불변 일관 위험 측도로 결과를 확장한다.
• 랜덤화된 정지 시간과 얇은 집합을 사용하여 새로운 표현 하에서 최적 정지 시간을 특성화한다.
• 이론적 기반을 강화하고 수치 근사를 가능하게 하기 위해 덧셈형 쌍대 표현을 유도한다.
• 경험적 분포 함수와 중요도 샘플링 기법을 사용한 원천 표현 기반 몬테카를로 알고리즘을 개발한다.
• AVaR 및 절대 분산편차에 대한 수치 실험을 통해 접근 방식을 검증하며 수렴성과 정확성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜곡된 기대값 하에서 최적 정지 문제는 시간 일치성을 복원하고 동적 프로그래밍을 가능하게 하도록 재구성될 수 있는가?
• RQ2 왜곡된 기대값의 원천 표현은 일반 법 불변 일관 위험 측도로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 이러한 위험 측도 하에서 최적 정지 시간의 구조는 어떠한가? 그리고 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 AVaR 및 절대 분산편차 하에서 몬테카를로 방법을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 제안된 알고리즘의 수렴 성향과 실용적 환경에서의 수치 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 왜곡된 기대값 하에서 최적 정지 문제를 표준 최적 정지 문제의 순서로 변환하는 새로운 원천 표현이 유도되었으며, 시간 일치성이 복원되었다.
• 이 표현 덕분에 이전에는 시간 일치성 부족으로 인해 해결이 어려웠던 문제들에 대해 동적 프로그래밍 방법을 적용할 수 있게 되었다.
• Kusuoka의 표현을 활용해 프레임워크를 일반 법 불변 일관 위험 측도로 확장하여 광범위한 적용 가능성을 확보하였다.
• 원천 표현 기반 몬테카를로 알고리즘이 수렴성을 확보하고 AVaR 및 절대 분산편차 위험 측도에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 수치 결과는 복잡한 위험 측도 하에서 최적 정지 시간의 정확한 근사가 가능함을 확인하였으며, 효과적인 접근임을 입증하였다.
• 이 방법은 랜덤화된 정지 시간과 얇은 집합을 활용하여 계산 가능하고 다루기 쉬운 방식으로 최적 정지 정책을 특성화할 수 있게 하였다.