[논문 리뷰] Optimal Strategies of Blotto Games: Beyond Convexity

Soheil Behnezhad, Avrim Blum외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 14.

Merger and Competition Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 목표 하에서 Colonel Blotto 게임에 대한 다항식 시간 근사 알고리즘을 제시한다: 보장되는 기대 수익을 최대화하고, 최소 유틸리티 기준을 충족할 확률을 최대화하는 것. 비볼록 해공간을 다항수의 볼록 다면체로 분할함으로써 저자들은 기존의 볼록 프로그래밍의 한계를 극복하고, 일반 Colonel Blotto 게임이 지수시간 완전임을 보여주는 첫 번째 복잡도 결과를 확립한다.

ABSTRACT

The Colonel Blotto game, first introduced by Borel in 1921, is a well-studied game theory classic. Two colonels each have a pool of troops that they divide simultaneously among a set of battlefields. The winner of each battlefield is the colonel who puts more troops in it and the overall utility of each colonel is the sum of weights of the battlefields that s/he wins. Over the past century, the Colonel Blotto game has found applications in many different forms of competition from advertisements to politics to sports. Two main objectives have been proposed for this game in the literature: (i) maximizing the guaranteed expected payoff, and (ii) maximizing the probability of obtaining a minimum payoff $u$. The former corresponds to the conventional utility maximization and the latter concerns scenarios such as elections where the candidates' goal is to maximize the probability of getting at least half of the votes (rather than the expected number of votes). In this paper, we consider both of these objectives and show how it is possible to obtain (almost) optimal solutions that have few strategies in their support. One of the main technical challenges in obtaining bounded support strategies for the Colonel Blotto game is that the solution space becomes non-convex. This prevents us from using convex programming techniques in finding optimal strategies which are essentially the main tools that are used in the literature. However, we show through a set of structural results that the solution space can, interestingly, be partitioned into polynomially many disjoint convex polytopes that can be considered independently. Coupled with a number of other combinatorial observations, this leads to polynomial time approximation schemes for both of the aforementioned objectives.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 해공간의 도전 과제를 다루며, 유계 지지 전략을 가진 Colonel Blotto 게임에서 근사 최적 전략을 효율적으로 계산하기 위한 알고리즘을 개발한다.
• 기대 수익의 최소값을 극대화하는 것과 (u,p)-최소값 전략(여기서 p는 최소 유틸리티 u를 달성할 확률임)을 모두 위한 다항식 시간 근사 알고리즘(PTAS)을 제공한다.
• 일반화된 Colonel Blotto 게임의 계산 복잡도를 해결하고, 그것이 지수시간 완전임을 증명한다.
• 근사 최적성을 유지하면서 지지 크기를 줄임으로써 균형 전략의 실용적 구현을 가능하게 한다.

제안 방법

• Colon내 Blotto 게임의 비볼록 해공간을 다항수의 서로소 볼록 다면체로 분할하여 볼록 최적화 기법을 적용할 수 있도록 한다.
• 조합적 구조와 전략적 제약 조건을 이용해 최적 전략에서 지지 크기를 제한한다.
• Adler의 0-합 게임 환원 방식을 수정하여, 일반 Colonel Blotto 게임으로부터 압축된 선형부등식 문제를 환원한다.
• 타당한 병력 배분을 전투 분야의 부분집합과 보완적인 배분으로 인코딩하여 지ay행렬의 항목과 일대일 대응을 보장한다.
• 비타당한 배분을 페널티하는 유틸리티 함수를 정의하고, 타당한 배분을 비대칭 지불행렬의 항목으로 매핑한다.
• 일반 Colonel Blotto 게임의 최소최대값과 구성된 지불행렬의 최소최대값 간의 등가성을 활용하여 완전성 증명을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 해공간에도 불구하고, Colonel Blotto 게임의 최적 전략은 유계 지지 전략으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 기대 수익의 최소값 극대화와 (u,p)-최소값 목표 모두에 대해 다항식 시간 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 Colonel Blotto 게임에서 최소최대값을 찾는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 Colonel Blotto의 해공간은 효율적인 최적화를 가능하게 하는 관리 가능한 볼록 성분들로 분해될 수 있는가?
• RQ5 압축된 선형부등식 문제에서 일반 Colonel Blotto 게임으로의 환원이 최소최대 결과를 유지하고 완전성을 확립하는가?

주요 결과

• Colonel Blotto 게임의 해공간은 다항수의 서로소 볼록 다면체로 분할 가능하며, 이는 전체적으로 비볼록이더라도 볼록 최적화 기법을 적용할 수 있음을 보여준다.
• 이 논문은 기대 수익의 최소값 극대화와 (u,p)-최소값 목표 모두에 대해 처음으로 다항식 시간 근사 알고리즘(PTAS)을 제시한다.
• 압축된 회로 값 문제를 통해 압축된 선형부등식 문제를 거쳐 Adler의 0-합 게임 구성법을 이용한 환원을 통해 일반 Colonel Blotto 게임이 지수시간 완전임을 증명한다.
• 게임 내 타당한 배분은 전투 분야의 부분집합과 보완적인 병력 배분으로 인코딩되며, 지불행렬의 행과 열과 일대일 대응된다.
• 비타당한 배분은 지배됨을 입증하고, 게임의 최소최대 결과에 영향을 주지 않도록 안전하게 제거될 수 있다.
• 일반 Colonel Blotto 게임의 최소최대값은 구성된 비대칭 지불행렬의 최소최대값과 동치이며, 최소최대 전략의 마지막 성분이 0이 아닐 경우에만 원래 시스템이 해를 가진다.