[논문 리뷰] Optimal Superconvergence Analysis for the Crouzeix-Raviart and the Morley elements

Jun Hu, Limin Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 28.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Crouzeix-Raviart 및 Morley 유한요소에 대한 최적 초수렴 분석을 제안하며, 해당 혼합 유한요소(Raviart–Thomas 및 Hellan–Herrmann–Johnson)에 대해 정규화된 보간법과 유한요소 해의 차이에 대한 이산 헬름홀츠 분해를 도입한다. 이 방법은 균일하고 약간의 구조를 가진 메쉬에서 전체 일계수 초수렴 결과를 달성할 수 있게 하여 이전의 반계수 추정치와 관측된 수치 성능 사이의 격차를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, an improved superconvergence analysis is presented for both the Crouzeix-Raviart element and the Morley element. The main idea of the analysis is to employ a discrete Helmholtz decomposition of the difference between the canonical interpolation and the finite element solution for the first order mixed Raviart--Thomas element and the mixed Hellan--Herrmann--Johnson element, respectively. This, in particular, allows for proving a full one order superconvergence result for these two mixed finite elements. Finally, a full one order superconvergence result of both the Crouzeix-Raviart element and the Morley element follows from their special relations with the first order mixed Raviart--Thomas element and the mixed Hellan--Herrmann--Johnson element respectively. Those superconvergence results are also extended to mildly-structured meshes.

연구 동기 및 목표

• 비일관 유한요소에 대한 이전의 반계수 이론적 추정치와 수치 실험에서 관측된 전체 일계수 초수렴 사이의 격차를 메우기 위해.
• 경계 항에 대한 기존의 소볼레프 공간 기반 추정치의 한계를 극복하는 새로운 초수렴 분석 기법을 개발하기 위해.
• 균일성 조건을 완화하여 약간의 구조를 가진 (α,σ)-메쉬로 최적 초수렴 결과를 확장하기 위해.
• Crouzeix-Raviart 및 Morley 요소의 관측된 초수렴 행동에 대한 엄밀한 이론적 기반을 확립하기 위해.
• 다양한 메쉬 유형(균일, 조각별 균일, 델로아 메쉬 포함)에서의 수치 실험을 통해 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 일阶 Raviart–Thomas 및 Hellan–Herrmann–Johnson 혼합 유한요소에 대해 정규화된 보간법과 유한요소 해의 오차에 대한 이산 헬름홀츠 분해를 적용한다.
• 분해를 통해 공통된 정점을 공유하는 경계 항 간의 상쇄 효과를 유도한다.
• 개선된 분석을 혼합 요소에 적용함으로써, 이는 알려진 등가 관계를 통해 비일관 Crouzeix-Raviart 및 Morley 요소에 대한 최적 초수렴을 암시한다.
• 모든 요소 K에 대해 |ln h_K| ≈ |ln h| 라는 조건을 가정함으로써, 균일성 조건보다 더 약한 조건 하에서 결과를 약간의 구조를 가진 (α,σ)-메쉬로 일반화한다.
• 이전 연구에서 사용된 변분 오차 전개를 피함으로써 더 넓은 적용 범위를 확보하고 비균일 메쉬로의 단순 확장을 가능하게 한다.
• Morley 요소의 판정 문제에서 균일, 조각별 균일, 델로아 메쉬에 대한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Crouzeix-Raviart 및 Morley 요소에 대해 전체 일계수 초수렴 결과를 엄밀히 증명할 수 있는가? 이는 이전의 반계수 추정치와의 괴리 문제를 해결한다.
• RQ2 혼합 유한요소 방법에서 경계 항의 분석은 기존의 소볼레프 공간 기반 추정치를 초월하여 향상시킬 수 있는가? 이러한 추정치는 이미 향상될 수 없다는 것이 알려져 있다.
• RQ3 이산 헬름홀츠 분해 기법이 경계 항 간의 충분한 상쇄를 가능하게 하여 최적 초수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 완전한 균일성 조건 없이도 초수렴 결과를 약간의 구조를 가진 (α,σ)-메쉬로 확장할 수 있는가?
• RQ5 다양한 메쉬 유형(델로아 및 조각별 균일 메쉬 포함)에서 이론적 초수렴 속도와 수치 결과 간의 비교는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 균일 메쉬에서 Crouzeix-Raviart 및 Morley 요소에 대해 전체 일계수 초수렴 결과가 증명되었으며, 이는 이전의 반계수 추정치 격차를 해결한다.
• 개선된 분석을 통해 Raviart–Thomas 및 Hellan–Herrmann–Johnson 혼합 유한요소의 최적 수렴 속도 h^{1+ρ}를 달성하였으며, 이는 이전의 반계수 결과를 향상시킨다.
• 이산 헬름홀츠 분해를 통해 경계 항 간의 핵심적인 상쇄 효과가 발생하며, 이는 최적 초수렴을 달성하는 데 핵심적이다.
• |ln h_K| ≈ |ln h| 조건 하에서 약간의 구조를 가진 (α,σ)-메쉬로 초수렴 결과가 확장되었으며, 이는 균일성 조건보다 더 약한 조건이다.
• 수치 실험 결과 이론적 수렴 속도가 확인되었다: Morley 요소의 후처리 오차는 균일 메쉬에서 수렴 속도 2.04를 보이며, 최적 속도 2에 가까워진다.
• 조각별 균일 및 델로아 메쉬에서는 보간 오차는 최적(약 ~1.9)을 유지하지만, 후처리 오차는 비최적(~1.6)이 되어 메쉬 구조에 따른 후처리 민감도가 드러난다.