[논문 리뷰] Optimal Trading with Linear and (small) Non-Linear Costs

Adam Rej, Raphael Benichou외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 및 소규모 이차(시장 영향) 비용이 모두 존재하는 최적 거래 문제를 해결하기 위해 매칭된 점근 전개 방법을 개발한다. 시장 영향은 영향 매개변수의 세제곱근 비례로 무거래 영역을 축소시킨다는 것을 보여주며, 네 가지 구분되는 거래 제도를 규명한다: 수축하는 NT 영역, 선형 속도 감쇠가 있는 좁은 경계층, 중간 제곱근 영역, 외부 선형 영역으로, 이는 수치 결과와 일치하며 비제곱형 비용으로 일반화 가능하다.

ABSTRACT

We reconsider the problem of optimal trading in the presence of linear and quadratic costs, for arbitrary linear costs but in the limit where quadratic costs are small. Using matched asymptotic expansion techniques, we find that the trading speed vanishes inside a band that is narrower than in the absence of quadratic costs, by an amount that scales as the one-third power of quadratic costs. Outside of the band, we find three regimes: a small boundary layer where the velocity vanishes linearly with the distance to the band, an intermediate region where the velocity behaves as a square-root of that distance, and a far region where it becomes linear. Our solution is consistent with available numerical results. We determine the conditions in which our expansion is useful in practical applications, and generalize our solution to other forms of non-linear costs.

연구 동기 및 목표

• 선형 거래 비용과 소규모 이차 시장 영향 비용이 동시에 존재할 경우 최적 거래 전략을 결정하기 위해.
• 특히 이차 비용이 작을 경우 혼합 비용 구조가 존재하는 상황에서 최적 실행 문제를 해결하기 위해.
• 순수 선형 비용의 경우에 알려진 해(무거래 밴드)를 소규모 시장 영향 효과를 포함하도록 확장하기 위해.
• 일반적인 비선형 비용 함수, 특히 제곱형 이상의 형태로 일반화 가능한 체계적인 점근 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 시장 영향이 작을 때(η → 0)의 점근적 한계에서 선형 비용이 지배적인 것으로 간주하고, 매칭된 점근 전개를 사용하여 최적 거래 문제를 분석한다.
• 중앙 무거래 밴드, 좁은 경계층, 중간 제곱근 영역, 외부 선형 영역의 네 가지 구분된 영역에서 해를 유도한다.
• 무거래 밴드 경계 근처에서 거래 속도의 제곱근 특이성을 정규화하기 위해 경계층 이론을 적용한다.
• Γ > 0, η = 0일 때 알려진 해를 기반으로 가치 함수에 대한 헤이지-지오르비-벨리만(HJB) 방정식을 전개하여 해를 구한다.
• 값 함수의 연속성과 미분 가능성 조건을 확보하기 위해 메르톤-사토 최적성 조건을 사용한다.
• 실제로 관측된 Q^{3/2} 영향 법칙을 포함한 다른 비선형 비용 함수로도 이 방법을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 이차 시장 영향 비용이 포함될 경우 순수 선형 비용 사례와 비교해 최적 거래 전략은 어떻게 수정되는가?
• RQ2 시장 영향으로 인해 무거래 영역의 너비가 줄어드는 정도는 어떤 스케일링을 따른다?
• RQ3 무거래 밴드 근처에서 거래 속도는 특히 경계층과 중간 영역에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이상적 해는 Q^{3/2} 영향과 같은 비제곱형 비용 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ5 실제 거래 응용에서 점근 전개의 타당성과 실용성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 시장 영향으로 인해 무거래 영역의 너비는 영향 매개변수 η의 세제곱근 비례로 줄어들며, 이는 η^{1/3} 비례로 나타난다.
• 무거래 밴드 주변에 너비가 η^{1/3}인 좁은 경계층이 형성되며, 이 영역에서 거래 속도는 밴드에서의 거리에 따라 선형 감소한다.
• 중간 영역에서는 거래 속도가 밴드에서의 거리의 제곱근 비례로 변화하며, 순수 선형 비용 해에서 나타나는 특이성을 정규화한다.
• 밴드에서 멀리 떨어진 영역에서는 거래 속도가 거리에 따라 선형적으로 행동하며, Γ > 0, η = 0일 때 정확한 해를 복원한다.
• 값 함수의 세 번째 도함수는 경계에서 양수이며, 이는 해의 안정성과 점근적 매칭의 정확성을 확인한다.
• 적절한 스케일링과 매칭 기법을 통해 이 방법은 실증적으로 관측된 Q^{3/2} 영향 법칙을 포함한 다른 비선형 비용 함수로도 일반화된다.