[논문 리뷰] Optimal trajectory tracking

Jakob Löber|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 108인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 애파인 제어 시스템에서 최적 궤적 추적을 위한 프레임워크를 제안하며, 제어 입력이 정확히 유도되어 완벽한 추적을 보장할 수 있는 '정확히 실현 가능한 궤적'의 클래스를 규명한다. 선형화 가정을 활용하고 정규화 파라미터를 소규모 교란으로 간주함으로써, 비선형 최적 제어에 내재된 선형적 구조를 드러내어 기계 시스템 및 피츠휴-나구모 모델을 포함한 광범위한 시스템에 대해 정확한 해석적 해를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This thesis investigates optimal trajectory tracking of nonlinear dynamical systems with affine controls. The control task is to enforce the system state to follow a prescribed desired trajectory as closely as possible. The concept of so-called exactly realizable trajectories is proposed. For exactly realizable desired trajectories exists a control signal which enforces the state to exactly follow the desired trajectory. This approach does not only yield an explicit expression for the control signal in terms of the desired trajectory, but also identifies a particularly simple class of nonlinear control systems. Systems in this class satisfy the so-called linearizing assumption and share many properties with linear control systems. For example, conditions for controllability can be formulated in terms of a rank condition for a controllability matrix analogously to the Kalman rank condition for linear time invariant systems. Furthermore, exactly realizable trajectories arise as solutions to unregularized optimal control problems. Based on that insight, the regularization parameter is used as the small parameter for a perturbation expansion. This results in a reinterpretation of affine optimal control problems with small regularization term as singularly perturbed differential equations. The small parameter originates from the formulation of the control problem and does not involve simplifying assumptions about the system dynamics. Combining this approach with the linearizing assumption, approximate and partly linear equations for the optimal trajectory tracking of arbitrary desired trajectories are derived. For vanishing regularization parameter, the state trajectory becomes discontinuous and the control signal diverges. On the other hand, the analytical treatment becomes exact and the solutions are exclusively governed by linear differential equations. Thus, the possibility of linear structures underlying nonlinear optimal control is revealed. This fact enables the derivation of exact analytical solutions to an entire class of nonlinear trajectory tracking problems with affine controls. This class comprises, among others, mechanical control systems in one spatial dimension and the FitzHugh-Nagumo model with a control acting on the activator.

연구 동기 및 목표

• 비선형 애파인 제어 시스템에서 최적 궤적 추적을 위한 해석적 프레임워크를 개발한다.
• 선형화 가정을 만족하는 시스템의 클래스를 규명하여 최적 제어의 정확한 해석적 해가 존재하는 조건을 밝힌다.
• 소규모 정규화 문제를 단일적으로 섭동된 시스템으로 재해석하여 근사적 해를 유도한다.
• 선형 시스템과 유사한 조건을 갖는 가역성 및 출력 실현 가능성 조건을 수립한다.
• 기계 시스템과 피츠휴-나구모 모델에 대해 이 방법을 적용하여 정규화가 0으로 수렴하는 극한에서 정확한 해가 존재함을 보여준다.

제안 방법

• 정확히 실현 가능한 궤적의 개념을 도입—즉, 명시적 제어 입력을 통해 완벽하게 추적 가능한 목표 궤적.
• 프로젝터 P와 Q를 사용하여 선형화 가정을 적용해 상태 방정식을 분리된 구성요소로 분해한다.
• 선형 정수 시스템의 칼만 랭크 조건과 유사한 가역성 조건을 유도한다.
• 소규모 정규화를 갖는 최적 제어 문제를 단일 섭동 시스템으로 재해석하며, 정규화 파라미터 ϵ을 소규모 매개변수로 사용한다.
• 매칭된 점근 전개를 통해 내부(경계층) 및 외부(정상) 해를 유도한다.
• ϵ → 0 극한에서 내부 및 외부 전개를 매칭하여 상태 및 제어 신호의 복합 해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 애파인 제어 시스템에서 어떤 조건에서 목표 궤적이 정확히 추적될 수 있는가?
• RQ2 정규화 파라미터를 소규모 교란으로 간주함으로써 최적 제어 문제의 구조는 어떻게 단순화될 수 있는가?
• RQ3 정확히 실현 가능한 궤적과 비정규화 최적 제어 문제 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 선형화 가정을 만족하는 비선형 시스템이 칼만 랭크 조건과 같은 선형 시스템의 성질을 어느 정도 유산으로 이어지는가?
• RQ5 단일 섭동 구조를 활용하여 비선형 시스템에 대해 최적 궤적 추적의 해석적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 선형화 가정을 만족하는 시스템에서는 정확히 실현 가능한 궤적이 존재하여 제어 입력에 대한 명시적 해석적 표현이 가능하다.
• 이러한 시스템의 가역성은 칼만 랭크 조건과 유사한 가역성 행렬의 랭크 조건에 의해 결정된다.
• 정규화가 사라지는 극한(ϵ → 0)에서 상태 궤적이 불연속이 되고 제어 신호가 발산하지만, 해석적 접근은 정확해지며 선형 미분 방정식에 의해 지배된다.
• 이 방법은 일차원 기계 시스템 및 애파인 제어를 갖는 피츠휴-나구모 모델을 포함한 광범위한 비선형 최적 제어 문제에 대해 정확한 해석적 해를 제공한다.
• 단일 섭동 접근법을 통해 임의의 목표 궤적에 대해 근사적 해를 도출할 수 있으며, ϵ → 0에서 정확한 해로 수렴한다.
• 이 프레임워크는 정규화 파라미터를 소규모 교란으로 간주할 경우 비선형 최적 제어 문제가 내재된 선형적 구조를 지닐 수 있음을 드러낸다.