[논문 리뷰] Optimal Transport for Seismic Full Waveform Inversion

Björn Engquist, Brittany D. Froese외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 04.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 14인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 최적 운반 이론에서 유도된 워샤르스타인 거리(metric)를 지질학적 전파파형 역산(Full Waveform Inversion, FWI)에서 오차 측도로 사용함으로써, 기존의 L2 노름을 대체한다. 워샤르스타인 거리를 계산하기 위해 몽주-아프레 방정식을 활용하고, 그 프레셰 미분(gradient)을 유도함으로써, 더 뛰어난 볼록성과 노이즈에 대한 강건성을 확보하여, 한-두-육-십이 매개변수 속도 모델에서 수치 실험 결과로 안정적인 수렴을 이룩하였다. 이는 1% 미만의 매개변수 오차와 낮은 오차 값으로 구현되었다.

ABSTRACT

Full waveform inversion is a successful procedure for determining properties of the earth from surface measurements in seismology. This inverse problem is solved by a PDE constrained optimization where unknown coefficients in a computed wavefield are adjusted to minimize the mismatch with the measured data. We propose using the Wasserstein metric, which is related to optimal transport, for measuring this mismatch. Several advantageous properties are proved with regards to convexity of the objective function and robustness with respect to noise. The Wasserstein metric is computed by solving a Monge-Ampere equation. We describe an algorithm for computing its Frechet gradient for use in the optimization. Numerical examples are given.

연구 동기 및 목표

• 기존의 L2 기반 오차 함수가 지닌 비볼록성과 노이즈 민감성 문제를 해결하기 위해.
• 볼록성과 노이즈에 대한 강건성 측면에서 워샤르스타인 거리가 L2에 비해 이론적·수치적으로 우월한 점을 규명하기 위해.
• 기울기 기반 최적화에 활용하기 위해, 모델 매개변수에 대한 워샤르스타인 거리의 프레셰 기울기를 유도하기 위해.
• 수치 실험을 통해 노이즈가 있는 지질학적 데이터로부터 진짜 속도 모델을 얼마나 잘 복원하는지 검증하기 위해.

제안 방법

• 오차 측도로 워샤르스타인 거리 W₂²를 사용하며, 이를 정규화된 단위 질량을 가진 전파파형의 양성 및 음성 부분 간의 최적 운반으로 계산한다.
• 최적 운반 지도는 몽주-아프레 방정식을 풀어 계산한다: det(D²u) = f(x)/g(∇u(x)) + ⟨u⟩, 여기서 u는 볼록 함수이다.
• 워샤르스타인 거리는 W₂²(f,g) = ∫|x − ∇u(x)|²f(x)dx 로 평가되어 효율적인 수치 계산이 가능하다.
• 이론적 해법을 통해 몽주-아프레 방정식의 해를 이용하고, 인버스 문제의 동역학적 방법을 적용하여, 속도 모델에 대한 오차의 프레셰 기울기를 분석적으로 유도한다.
• 정방 문제는 2차원에서의 전체 음향파 방정식을 사용하여 해결하며, 초기 소스로는 리커 웨이브릿을 사용한다.
• 다양한 합성 모델에서 워샤르스타인 기반 목적 함수를 최소화하기 위해 기울기 기반 최적화 알고리즘을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 이동이 있을 경우, 워샤르스타인 거리가 L2에 비해 더 볼록한 목적 함수를 생성하는가?
• RQ2 노이즈가 존재할 경우 워샤르스타인 거리의 성능은 L2 노름에 비해 어떻게 되는가?
• RQ3 워샤르스타인 거리의 프레셰 기울기는 효율적으로 계산되어 전파파형 역산에 활용될 수 있는가?
• RQ4 다층 및 조각별로 일정한 속도 구조에서 이 방법은 진짜 속도 모델을 얼마나 잘 복원하는가?
• RQ5 고차원 매개변수 공간에서 이 방법의 수렴 특성과 정확도는 어떠한가?

주요 결과

• 일층 모델에서 워샤르스타인 거리는 시간 이동에 대해 균일하게 볼록한 행동을 보였고, L2 노름은 다수의 국소 최소값을 보였다.
• 이중층 모델에서 33회 반복 후에 실제 매개변수를 복원하여 제곱 오차가 2.06×10⁻⁵로 나타났고, 속도와 깊이에 대해 약 1%의 오차를 기록하였다.
• 육매개변수 속도 모델에서 72회 반복 후에 제곱 오차가 3.94×10⁻⁶로 나타났고, 복원된 모든 속도 값이 진값과 1% 이내였다.
• 십이매개변수 모델에서 복원된 속도의 최대 오차는 0.0091이었고, 제곱 오차는 2.10×10⁻⁶로 나타나 고차원성에도 불구하고 높은 정확도를 확보하였다.
• 수렴 이력에서 오차가 안정적이고 단조롭게 감소하는 경향을 보였으며, 이는 강건성과 기울기 기반 최적화에 적합함을 시사한다.
• 노이즈가 있는 목표값에 대한 워샤르스타인 거리 오차는 3.16×10⁻⁶로, 복원된 값과 유사하여 매개변수 오차는 주로 데이터 노이즈에 기인하고 알고리즘의 한계는 아님을 시사한다.