[논문 리뷰] Optimal transport over a linear dynamical system

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 04.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 37인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 결정성 동역학을 갖는 선형 동적 시스템에서의 최적 운반(Optimal Transport, OMT) 문제(Optimal Transport with prior dynamics, OMT-wpd)가 고유한 해를 가지며, 고전적 최적 질량 운반 문제와 동치임을 입증한다. 또한, 노이즈 강도가 0으로 수렴함에 따라 확률적 선형 시스템에 대한 슈뢰딩거 다리 문제(Schrödinger bridge problem)의 해가 결정성 OMT-wpd 해로 약수렴함을 증명하여, 두 프레임워크를 노이즈가 없는 극한에서 통합한다.

ABSTRACT

We consider the problem of steering an initial probability density for the state vector of a linear system to a final one, in finite time, using minimum energy control. In the case where the dynamics correspond to an integrator ($\dot x(t) = u(t)$) this amounts to a Monge-Kantorovich Optimal Mass Transport (OMT) problem. In general, we show that the problem can again be reduced to solving an OMT problem and that it has a unique solution. In parallel, we study the optimal steering of the state-density of a linear stochastic system with white noise disturbance; this is known to correspond to a Schrödinger bridge. As the white noise intensity tends to zero, the flow of densities converges to that of the deterministic dynamics and can serve as a way to compute the solution of its deterministic counterpart. The solution can be expressed in closed-form for Gaussian initial and final state densities in both cases.

연구 동기 및 목표

• 비트리비어 선형 동역학을 갖는 시스템으로의 최적 질량 운반(Optimal Mass Transport, OMT)을 일반화하고, 사전 동역학을 고려한 OMT-wpd 문제를 도입한다.
• 모든 제어 가능한 선형 시스템과 임의의 초기/최종 분포에 대해 OMT-wpd 문제가 고유한 해를 가짐을 보인다.
• 노이즈 강도가 0으로 수렴하는 극한에서, 노이즈가 있는 확률적 동역학(Schrödinger bridge problem)과 결정성 동역학(OMT-wpd) 간의 연결 고리를 수립한다.
• OMT-wpd 및 슈뢰딩거 다리 문제 모두에 대해 초기 및 최종 밀도가 가우시안일 경우의 닫힌 형태 해를 유도한다.
• 노이즈 매개수 ε → 0일 때, 확률적 시스템의 엔트로피 보간이 결정성 시스템의 이동 보간으로 약수렴함을 보인다.

제안 방법

• 선형 동역학으로부터 유도된 상태 전이 행렬 Φ(t,s)와 행렬 M(t,s)를 이용한 좌표 변환을 통해 OMT-wpd 문제를 표준 최적 질량 운반 문제로 환원한다.
• 이토 동역학 dx = Ax dt + Bu dt + √ε B dw를 갖는 확률적 선형 시스템에 대해 슈뢰딩거 다리 프레임워크를 적용한다. 여기서 w는 위너 과정이다.
• 최소 에너지 제어와 최소 상대 엔트로피 간의 이중성 원리를 적용하여, 슈뢰딩거 다리 해가 사전 확산 과정에 대한 상대 엔트로피를 최소화함을 보인다.
• 변환된 시스템에 대해 연속 밀도 q^{B,ε}를 유도하고, 변환된 시스템의 슈뢰딩거 다리 문제 해가 원래 문제의 해와 대응됨을 보인다.
• 측도 전환과 좌표 변환 C를 적용하여 원래 시스템을 표준 형태로 매핑하고, 기존의 슈뢰딩거 다리 결과를 적용할 수 있도록 한다.
• ε → 0일 때 엔트로피 보간 P^ε_t가 이동 보간 μ_t로 약수렴함을 증명하며, 조건부 다리 Q^ε_xy가 결정성 경로 γ^xy로 수렴함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정성 동역학을 갖는 선형 동적 시스템에서의 최적 운반 문제(OMT-wpd)는 제어 가능한 (A,B) 행렬과 임의의 초기 및 최종 분포에 대해 고유한 해를 갖는가?
• RQ2 노이즈 강도 ε가 0으로 수렴함에 따라, 선형 확률적 시스템에 대한 슈뢰딩거 다리 문제의 해가 OMT-wpd 문제의 해로 수렴하는가?
• RQ3 초기 및 최종 분포가 가우시안일 경우, OMT-wpd 문제와 슈뢰딩거 다리 문제의 해는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 상태 전이 행렬 Φ(t,s)와 행렬 M(t,s)는 OMT-wpd 문제를 표준 최적 운반 문제로 변환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 노이즈가 없는 극한에서, 확률적 시스템의 엔트로피 보간은 결정성 시스템의 이동 보간으로 약수렴하는가?

주요 결과

• 제어 가능한 (A,B) 행렬을 갖는 선형 시스템에 대해 OMT-wpd 문제의 해는 고유하며, 적절한 좌표 변환 후 표준 최적 질량 운반 문제를 푸는 것과 동치이다.
• 노이즈 강도 ε → 0일 때, 동일한 선형 시스템에 대한 슈뢰딩거 다리 문제의 해는 OMT-wpd 문제의 해로 약수렴한다.
• 초기 및 최종 밀도가 가우시안일 경우, OMT-wpd 및 슈뢰딩거 다리 문제 모두 Φ(t,s), M(t,s) 및 초기/최종 분포의 공분산 행렬을 포함하는 닫힌 형태의 해를 갖는다.
• 엔트로피 보간 P^{B,ε}_{01}의 공동 분포는 표준 슈뢰딩거 다리 문제의 공동 분포 P^ε_{01}이 좌표 변환 C에 의해 푸시포워드된 것이다.
• 확률적 시스템의 조건부 경로 분포 Q^ε_xy는 ε → 0일 때 결정성 최소 에너지 경로 γ^xy로 약수렴하며, 이는 시간 마진의 수렴을 보장한다.
• 이동 보간 μ_t는 최적 운반 계획 π가 경로 매핑에 의해 푸시포워드된 것으로 정의되며, ε → 0일 때 엔트로피 보간의 시간 마진 P^ε_t의 약극한이다.