[논문 리뷰] Optimal velocity control of a convective Cahn-Hilliard system with double obstacles and dynamic boundary conditions: a `deep quench' approach

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 11.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 23인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 '딥 콘크리트(Deep Quench)' 접근법을 사용하여 이중 장벽 조건과 동적 경계 조건을 갖는 대류 Cahn-Hilliard 시스템에 대한 최적 속도 제어를 연구한다. 변분 방법과 정규화 기법을 활용하여 저자들은 최적 제어의 존재성을 확립하고 필요 최적 조건을 유도하며, 속도 및 단계 변수에 대한 제약 조건이 있는 상ases의 상피 분리 과정을 위한 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate a distributed optimal control problem for a convective viscous Cahn-Hilliard system with dynamic boundary conditions. Such systems govern phase separation processes between two phases taking place in an incompressible fluid in a container and, at the same time, on the container boundary. The cost functional is of standard tracking type, while the control is exerted by the velocity of the fluid in the bulk. In this way, the coupling between the state (given by the associated order parameter and chemical potential) and control variables in the governing system of nonlinear partial differential equations is bilinear, which presents a difficulty for the analysis. In contrast to the previous paper arXiv:1709.02335 [math.AP] by the same authors, the bulk and surface free energies are of double obstacle type, which renders the state constraint nondifferentiable. It is well known that for such cases standard constraint qualifications are not satisfied so that standard methods do not apply to yield the existence of Lagrange multipliers. In this paper, we overcome this difficulty by taking advantage of results established in the quoted paper for logarithmic nonlinearities, using a so-called `deep quench approximation'. We derive results concerning the existence of optimal controls and the first-order necessary optimality conditions in terms of a variational inequality and the associated adjoint system.

연구 동기 및 목표

• 상태 변수와 그 속도에 대한 제약 조건이 있는 상피 분리 과정을 모델링하는 이중 장벽 조건이 있는 대류 Cahn-Hilliard 시스템의 최적 제어를 다루는 것.
• 상피 분리 과정에서 표면 효과를 모델링하는 동적 경계 조건을 통합하는 것.
• 이중 장벽 포텐셜을 다루기 위해 '딥 콘크리트(Deep Quench)' 접근법을 개발하여 비연속 설정에서의 특이 극한과 최적 제어의 분석을 가능하게 하는 것.
• 제어 문제에 대한 최적 제어의 존재성을 확립하고 일阶 필수 최적 조건을 도출하는 것.
• 기존 Cahn-Hilliard 시스템 결과를 확장하여 속도 제어와 동적 경계 조건을 포함하는 것

제안 방법

• 이중 장벽 포텐셜을 근사하기 위해 '딥 콘크리트(Deep Quench)' 정규화 기법을 사용하여 비연속 제어 문제를 연속적이고 해를 구할 수 있는 문제의 시퀀스로 변환하는 것.
• Hilbert 공간 프레임워크 내에서 변분 형식과 약한 해를 사용하여 동적 경계 조건이 있는 연립 PDE 시스템을 다루는 것.
• 정규화된 문제에서 극한을 취하기 위해 渐近적 분석 기법을 적용하여 원래의 비연속 문제의 해를 복원하는 것.
• 정규화된 문제의 맥락에서 라그랑주 승수 법칙을 적용하여 일阶 최적 조건 시스템을 도출한 후, 극한을 취하여 원래 문제의 최적 조건 시스템을 얻는 것.
• 최대 단조 연산자 이론과 미분계수를 사용하여 이중 장벽 포텐셜과 그 미분계수를 약한 형식에서 다루는 것.
• 정규화된 문제에서 원래 문제로의 전환을 정당화하기 위해 컴팩턴스와 수렴 결과를 확립하는 것

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도 제어 하에 이중 장벽 조건과 동적 경계 조건을 갖는 대류 Cahn-Hilliard 시스템에 대해 최적 제어가 존재하는가?
• RQ2 비연속적인 이중 장벽 포텐셜은 어떻게 정규화할 수 있으며, 이를 통해 변분 분석과 최적 조건을 도출할 수 있는가?
• RQ3 제어 문제의 필수 최적 조건은 무엇이며, 상태 변수와 수반 변수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 '딥 콘크리트(Deep Quench)' 접근법은 동적 경계 조건과 속도 제어를 갖는 시스템에 성공적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 정규화 매개수를 0으로 갈수록 정규화된 최적 제어 문제의 극한 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 이중 장벽 조건과 동적 경계 조건을 갖는 비연속 Cahn-Hilliard 시스템에 대해 최적 제어의 존재성이 증명된다.
• '딥 콘크리트(Deep Quench)' 접근법은 이중 장벽 포텐셜을 성공적으로 정규화하여 일阶 최적 조건을 도출하는 데 기여한다.
• 극한에서 상태, 수반, 제어 변수를 포함하는 필수 최적 조건 시스템이 도출되었으며, 이중 장벽 포텐셜의 미분계수가 수반 방정식에 나타난다.
• 적절한 가정 하에 정규화된 최적 해가 원래 문제의 해로 수렴하는 것으로 입증되었다.
• 이 방법은 속도 제어를 포함할 수 있어 이전의 상태 제어만을 고려한 Cahn-Hilliard 시스템 결과를 확장한다.
• 분석은 약한 형식 프레임워크 내에서 수행되어 물리적으로 관련 있는 비연속 상전이 모델에 적용 가능함을 보장한다.