[논문 리뷰] Optimal Z-complementary Code Set From Generalized Reed-Muller Codes

Palash Sarkar, Sudhan Majhi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 08.

PAPR reduction in OFDM참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 제2형 일반화된 Reed-Muller 코드를 기반으로 하여 새로운 그래픽 표현 방식을 통해 최적의 Z-보완 코드 집합(ZCCS)을 직접 구성한다. 코드를 삭제 가능한 정점과 고립 정점이 포함된 그래프로 모델링함으로써, 크기 $2^{k+p+1}$의 ZCCS를 생성하며, 최적의 영역 간격(ZCZ) 너비를 확보한다. 이는 이론적 최고 상한선에 도달하면서도, 고립 정점의 수를 조절하여 ZCZ 너비를 탄력적으로 제어할 수 있다.

ABSTRACT

Z-complementary code set (ZCCS), an extension of perfect complementary codes (CCs), refers to a set of two-dimensional matrices having zero correlation zone properties. ZCCS can be used in various multi-channel systems to support, for example, quasi-synchronous interference-free multicarrier code-division multiple access communication and optimal channel estimation in multiple-input multiple-output systems. Traditional constructions of ZCCS heavily rely on a series of sequence operations which may not be feasible for rapid hardware generation particularly for long ZCCSs. In this paper, we propose a direct construction of ZCCS using second-order Reed-Muller codes with efficient graphical representation. Our proposed construction, valid for any number of isolated vertices present in the graph, is capable of generating optimal ZCCS meeting the set size upper bound.

연구 동기 및 목표

• 하드웨어 구현에 부적합한 복잡한 시퀀스 연산에 의존하는 기존 ZCCS 구성 방법의 한계를 해결하기 위해.
• 최대 집합 크기와 조절 가능한 ZCZ 너비를 갖는 최적의 ZCCS를 직접적이고 체계적인 방법으로 생성하기 위해.
• 코드 구조의 그래픽 표현을 통해 일반화된 Reed-Muller 코드와 ZCCS 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 기존 보완 코드 구성 방식을 일반화하기 위해 그래프 모델에 고립 정점을 통합하여 ZCCS의 유연성과 크기를 증가시키기 위해.

제안 방법

• 코드 생성의 기초로 $q$-진 일반화된 Reed-Muller 코드의 제2형 코스를 사용한다.
• 그래프 기반 표현을 도입하여 $m$개의 정점이 변수를 나타내며, $k$개의 정점을 삭제함으로써 $m-k-p$개의 정점으로 이루어진 경로와 $p$개의 고립 정점으로 구성된 그래프로 변환한다.
• 경로의 정점에 $q/2$의 가중치를 할당함으로써, 생성된 코드 집합에서 ZCZ 성질을 보장한다.
• 두 종류의 코드 집합을 생성한다: 하나는 원래 그래프에서 유도된 것이고, 다른 하나는 첫 번째 집합의 역순 및 켤라위 변환된 버전에서 유도된다.
• 이 두 코드 집합의 합집합은 크기 $2^{k+p+1}$인 ZCCS를 형성하며, 이는 집합 크기의 이론적 최고 상한선에 도달한다.
• 일반화된 부울 함수(GBFs)를 사용하여 코드 구성의 매개변수화를 수행하며, 코드 시퀀스는 이차 형식을 통해 정의된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복적인 시퀀스 연산에 의존하지 않고도 일반화된 Reed-Muller 코드를 사용하여 최적의 ZCCS를 직접 구성할 수 있는가?
• RQ2 그래프 기반 코드 표현에서 고립 정점의 수가 생성된 ZCCS의 ZCZ 너비와 집합 크기에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 제2형 일반화된 Reed-Muller 코드에서 구성된 ZCCS의 최대 달성 가능한 집합 크기는 얼마이며, 이는 이론적 최고 상한선에 도달할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법이 $p=0$일 때 기존의 Rathinakumar-Chaturvedi CCC 구성 방식을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 제안된 구성은 ZCCS 집합 크기의 이론적 최고 상한선에 도달하여 $2^{k+p+1}$개의 최적 코드를 생성한다.
• ZCZ 너비는 고립 정점 수 $p$에 의해 직접 제어되며, 다양한 시스템 요구사항에 맞는 탄력적인 설계가 가능하다.
• 일 때, 구성은 Rathinakumar-Chaturvedi 완전 보완 코드(CCC)로 축소되며, 이는 특수 케이스임을 확인한다.
• 선택된 그래프 매개변수에 따라 최소 $\frac{(m-p)!}{2(k!)}(q-1)^{k(m-k-p)}q^{kp+\frac{k(k-1)}{2}+m+1}$개의 서로 다른 최적 ZCCS를 생성한다.
• 두 개의 생성된 집합에서 유도된 코드 간의 교차상관은 전 구간에서 0이며, 이는 전체 집합에 걸쳐 ZCZ 성질이 성립함을 확인한다.
• 일반화된 부울 함수와 그래프 구조에 기반한 직접적이고 대수적인 공식화 덕분에, 복잡한 시퀀스 조작을 피함으로써 하드웨어 구현에 유리한 구성이다.