[논문 리뷰] Optimization of a perturbed sweeping process by constrained discontinuous controls

Giovanni Colombo, Boris S. Mordukhovich외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 13.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 볼록 다면체 상태 제약 조건과 가측 불연속 제어를 갖는 변형된 스위핑 과정에 의해 지배되는 최적 제어 문제에 대한 필요 최적성 조건을 유도하기 위해 새로운 이산 근사 방법을 개발한다. 변분 해석과 일반화된 미분을 결합하여 이산 근사의 강한 수렴성을 확립하고, 포괄적인 일阶 및 이阶 최적성 조건을 유도하며, 이는 더 엄격한 가정 없이도 이전 결과를 크게 확장한다.

ABSTRACT

This paper deals with optimal control problems described by a controlled version of Moreau's sweeping process governed by convex polyhedra, where measurable control actions enter additive perturbations. This class of problems, which addresses unbounded discontinuous differential inclusions with intrinsic state constraints, is truly challenging and underinvestigated in control theory while being highly important for various applications. To attack such problems with constrained measurable controls, we develop a refined method of discrete approximations with establishing its well-posedness and strong convergence. This approach, married to advanced tools of first-order and second-order variational analysis and generalized differentiations, allows us to derive adequate collections of necessary optimality conditions for local minimizers, first in discrete-time problems and then in the original continuous-time controlled sweeping process by passing to the limit. The new results include an appropriate maximum condition and significantly extend the previous ones obtained under essentially more restrictive assumptions. We compare them with other versions of the maximum principle for controlled sweeping processes that have been recently established for global minimizers in problems with smooth sweeping sets by using different techniques. The obtained necessary optimality conditions are illustrated by several examples.

연구 동기 및 목표

• 변형된 스위핑 과정에 의해 지배되며 볼록 다면체 상태 제약 조건과 가측 제어를 갖는 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 스위핑 과정에서 정규 근사 사상의 비-Lipschitz성 및 불연속성으로 인해 발생하는 과제를 극복하는 것.
• 이러한 문제에 대해 잘 정의되고 강한 수렴성을 갖는 이산 근사 체계를 개발하는 것.
• 고도화된 변분 해석 도구를 사용하여 국소 최소화자에 대한 포괄적인 필요 최적성 조건을 도출하는 것.
• 다른 가정 하에 기존의 전역 최소화자에 대한 최대 원리와 새로운 결과를 비교하는 것.

제안 방법

• 제약 조건이 있는 가측 제어를 갖는 제어된 스위핑 과정에 대해 정밀화된 이산 근사 방법을 개발하여 잘 정의되고 강한 수렴성을 보장한다.
• 일阶 및 이阶 변분 해석 및 일반화된 미분 도구를 적용하여 이산 문제를 분석한다.
• 이산 시간 문제에 대한 필요 최적성 조건을 유도하고, 극한으로 보냄으로써 연속 시간 스위핑 과정에 대한 조건을 도출한다.
• 최대 조건과 쌍대 시스템을 사용하여 최적 제어-경로 쌍을 특성화한다.
• 쌍대 궤적과 제어 제약 조건의 구조를 다루기 위해 측도 비원형 조건을 구현한다.
• 정규 근사 조건의 최대화 형태를 사용하여 제어 집합에 따라 쌍대 역학을 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변형된 스위핑 과정에 의해 지배되는 불연속 동역학을 갖는 최적 제어 문제에 대해 필요한 최적성 조건을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 스위핑 과정의 상태 제약 조건이 있는 경우 비-Lipschitz 행동을 다루는 데 있어 이산 근사의 역할은 무엇인가?
• RQ3 새로운 최적성 조건은 더 매끄러운 설정에서 기존의 최대 원리와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 제안된 방법은 근사 과정 전반에 걸쳐 딱정 제어 및 상태 제약 조건을 어떻게 반영하는가?
• RQ5 활성 제약 조건이 존재할 때, 왜 새로운 조건은 페널티 기반 방법보다 더 우수한 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 이산 근사 체계는 잘 정의되어 있으며 원래 연속 시간 문제로 강하게 수렴하여 극한 과정의 타당성을 보장한다.
• 논문은 국소 최소화자에 대해 포괄적인 필요 최적성 조건을 도출하였으며, 이는 최대 조건과 경계 조건을 포함한다.
• 두 차원 단위 정사각형 제어 집합의 예에서는 쌍대 궤적이 일정함을 보여주어 최적성 체계를 단순화한다.
• 최적 제어는 시간 T에 경로가 다면체 집합의 경계에 도달할 때 달성되며, 두 제어 성분 모두 1/2이다.
• 활성 제약 조건을 다룰 때 페널티 기반 접근보다 성능이 뛰어나며, [3]과의 비교에서 특히 제약 조건에 영향을 받는 제어에 대해 뚜렷하게 드러난다.
• 최적 경로는 $\bar{x}(t) = (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t, -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}t)$ 로 주어지며, 최소 비용은 0을 달성한다.