[논문 리뷰] Optimization of conditional convex risk measures

Tiexin Guo|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 14.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 기능 해석을 사용하여 동적 포트폴리오 선택에서 조건부 볼록 위험 측도 최적화의 존재성 및 유일성 조건을 수립한다. 조건부 단조 평균-분산 최적화에 대한 필요하고도 충분한 조건을 제공하고, 유한한 수익 제약 조건 하에서 $L^0$–볼록 컴actness를 통해 조건부 엔트로픽 위험 측도의 존재성과 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

Optimization of conditional convex risk measure is a central theme in dynamic portfolio selection theory, which has not yet systematically studied in the previous literature perhaps since conditional convex risk measures are neither random strictly convex nor random coercive. The purpose of this paper is to give some basic results on the existence and uniqueness on this theme, in particular our results for conditional monotone mean--variance and conditional entropic risk measures are complete and deep. As the basis for the work of this paper, this paper first begins with a brief introduction to random functional analysis, including the historical backgrounds for its birth and some important advances. This paper then further surveys some recent progress in random convex analysis and its applications to conditional convex risk measures. Finally, based on these, we establish a concise sufficient and necessary condition for a return to be a solution to the optimization problem of conditional monotone mean--variance. We also make use of the recently developed theory of $L^0$--convex compactness to establish the existence of the optimization problem of conditional entropic risk measure when the conditional mean of returns is given and the returns fall within a random closed ball. Besides, the related uniqueness problems are also solved.

연구 동기 및 목표

• 조건부 볼록 위험 측도 최적화에 대한 체계적인 연구 부족 문제를 다루며, 이는 랜덤 엄격 볼록성도 아니고 강한 강성 조건도 갖지 않는다.
• 동적 위험 측도 하에서 최적화를 뒷받받치기 위해 랜덤 기능 해석 분야, 특히 $L^0$–볼록 컴팩트니스에 기초한 기초 결과를 수립한다.
• 조건부 단조 평균-분산 및 엔트로픽 위험 측도 최적화 문제에 대해 완전하고 깊이 있는 분석을 제공한다.
• 새로운 이론적 도구를 통해 조건부 위험 측도 하에서 포트폴리오 선택의 존재성 및 유일성 문제를 해결한다.

제안 방법

• 비강성 조건 및 비엄격 볼록 위험 측도를 다루기 위해, 특히 랜덤 노름 모듈에서의 $L^0$–볼록 컴팩트니스를 활용한다.
• 랜덤 반사적 $RN$ 모듈에서 거의 확실히 유계인 랜덤 선형 함수에 대해 하인-반하흐 정리를 적용한다.
• $RLC$ 모듈에서 점과 닫힌 $L^0$–볼록 집합 사이의 분리 정리를 사용하여 존재성 결과를 도출한다.
• $RIP$ 모듈의 랜덤 엄격 볼록성을 활용하여 코시-슈바르츠 부등식의 등호 조건을 통해 유일성을 증명한다.
• 기존 집합이 실패할 경우 존재성을 보장하기 위해 제약 집합 $G = \{x \in M : \pi(x) = 1, E[x|\mathcal{F}] = w, \|x\|_p \leq r\}$을 도입한다.
• 조건부 엔트로픽 위험 측도의 표현을 조건부 기대값과 로그 변환을 통해 활용하여 유일성 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부 단조 평균-분산 위험 측도에 대해 최적 포트폴리오가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 위험 측도가 강성 조건을 갖지 않을 경우, 조건부 엔트로픽 위험 측도 최적화에서 존재성을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ3 조건부 단조 평균-분산 최적화에서 수익이 최적일 때 필요한 그리고 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ4 조건부 엔트로픽 위험 측도 최적화 문제의 해가 유일한 조건은 무엇인가?
• RQ5 $L^0$–볼록 컴팩트니스는 조건부 최적화에서 표준 볼록성과 강성 조건의 부재를 어떻게 극복하는 데 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 조건부 단조 평균-분산 위험 측도 최적화에서 최적성의 필요하고도 충분한 조건이 $L^0$–볼록 컴팩트니스와 분리 정리를 통해 수립된다.
• 수익이 랜덤 닫힌 구내에 제약되고 조건부 평균이 고정된 경우, 조건부 엔트로픽 위험 측도 최적화의 최적 해가 존재함을 증명한다.
• 랜덤 코시-슈바르츠 부등식의 등호 조건을 활용하여 조건부 엔트로픽 위험 측도 최적화의 최적 해의 유일성을 확립한다.
• 두 해가 동일한 위험을 낳는다면, 로그 변환과 조건부 기대값을 통해 거의 확실히 동일한 해를 갖는다는 점에서 조건부 엔트로픽 위험 측도 문제의 해는 유일하다.
• 표준 집합이 강성 조건 부재로 인해 실패할 경우, 제약 집합 $G = \{x : \pi(x) = 1, E[x|\mathcal{F}] = w, \|x\|_p \leq r\}$이 존재성을 보장한다.
• 유일성 증명은 $x = e^{-\gamma u/2} = \alpha y = e^{-\gamma v/2}$임을 보여주며, 이로부터 $\alpha = 1$이고 따라서 거의 확실히 $u = v$임을 도출한다.