[논문 리뷰] Optimization of the $H_\infty$-norm of Dynamic Flow Networks

Alexander Johansson, Jieqiang Wei외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

Interconnection Networks and Systems참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파이프 네트워크와 같은 분배 시스템을 모델로 삼는 동적 흐름 네트워크의 $\mathcal{H}_\infty$-노름을 최소화하기 위한 최적화 프레임워크를 제안한다. 엣지 가중치(예: 파이프 용량)를 할당함으로써 이를 달성한다. 선형 행렬 부등식(LMI)을 사용하여 단일 입력 단일 출력(SISO) 시스템의 경우 $\mathcal{H}_\infty$-노름이 소스 및 싱크 노드 간의 유효 저항과 동일하다는 것을 보이며, 그래프의 대수적 연결성에 기반한 상한을 유도함으로써 불확실성 하에서의 강건한 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the $H_\infty$-norm of linear systems over graphs, which is used to model distribution networks. In particular, we aim to minimize the $H_\infty$-norm subject to allocation of the weights on the edges. The optimization problem is formulated with LMI (Linear-Matrix-Inequality) constraints. For distribution networks with one port, i.e., SISO systems, we show that the $H_\infty$-norm coincides with the effective resistance between the nodes in the port. Moreover, we derive an upper bound of the $H_\infty$-norm, which is in terms of the algebraic connectivity of the graph on which the distribution network is defined.

연구 동기 및 목표

• 외부 교란에 대한 강건성을 측정하는 선형 동적 흐름 네트워크의 $\mathcal{H}_\infty$-노름을 최소화하기 위해.
• 선형 행렬 부등식(LMI)을 사용한 볼록 최적화 프레임워크를 개발하여 엣지 가중치(예: 파이프 용량)를 할당함으로써 최소 $\mathcal{H}_\infty$-노름을 달성하기 위해.
• $\mathcal{H}_\infty$-노름과 유효 저항 및 대수적 연결성과 같은 그래프 이론적 양과의 관계를 설정하기 위해.
• 입력 행렬 $E$의 전체 정보가 확보되지 않은 경우에도 하위 최적의 그러나 강건한 설계 전략을 제공하기 위해.

제안 방법

• 엘립틱 가중치에 대한 LMI 제약 조건을 갖는 볼록 최적화 문제로 $\mathcal{H}_\infty$-노름 최소화 문제를 수립한다.
• 상태공간 대칭 시스템의 성질을 활용하여 $\mathcal{H}_\infty$-노름이 영주파수에서 도달됨을 이용해 분석을 단순화한다.
• 리카티 부등식을 부호가 있는 그래프(양수 및 음수 엣지 가중치 포함)에서 라플라스 행렬의 정정성 조건으로 해석한다.
• 입력 행렬 $E = e_i - e_j$를 갖는 SISO 시스템의 경우, $\mathcal{H}_\infty$-노름이 노드 $i$와 $j$ 사이의 유효 저항과 정확히 동일하다는 것을 증명한다.
• 기초 그래프의 대수적 연결성 $\lambda_2(L_w)$에 기반한 $\mathcal{H}_\infty$-노름의 상한을 도출한다.
• 전체 용량 제약 조건 $\sum \omega_i = c$ 하에 YALMIP를 사용하여 수치적으로 최적화 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 흐름 네트워크의 $\mathcal{H}_\infty$-노름을 엣지 가중치의 최적 할당을 통해 어떻게 최소화할 수 있는가?
• RQ2 SISO 동적 흐름 네트워크에서 $\mathcal{H}_\infty$-노름과 유효 저항 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 그래프의 대수적 연결성만을 사용하여 $\mathcal{H}_\infty$-노름의 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 입력 행렬 $E$가 부분적으로 알려져 있지 않은 경우 어떻게 강건성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• SISO 동적 흐름 네트워크의 경우, $\mathcal{H}_\infty$-노름은 정확히 소스 및 싱크 노드 간의 유효 저항과 동일하다.
• 수치 예제에서 최적의 파이프 용량 할당은 $w_{12}^* = 0.6$, $w_{24}^* = 0.4$이며, 최소 $\mathcal{H}_\infty$-노름은 $\gamma^* = 5$이다.
• 시험 입력 신호 하에서 $\|y(t)\|_2 \leq \gamma^* \|d(t)\|_2$임을 보여줌으로써 $\mathcal{H}_\infty$-노름이 수치적으로 검증된다.
• 대수적 연결성 $\lambda_2(L_w)$에만 의존하는 $\mathcal{H}_\infty$-노름의 상한이 도출되어 불확실성 하에서의 강건한 설계를 가능하게 한다.
• 입력 행렬 $E$가 알려져 있지 않은 경우에도 전체 용량 제약 조건 하에서 대수적 연결성을 최대화하는 것은 하위 최적이지만 유계인 해를 제공한다.