[논문 리뷰] Optimization with More than One Budget

Fabrizio Grandoni, Rico Zenklusen|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 10.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일정 수의 예산 제약 조건을 가진 k-예산 최적화 문제에 대해 결정적 및 랜덤화된 다항시간 근사 스킴(PTAS/PRAS)을 제시한다. 여기서 해는 독립계열을 이룬다. 다중 기준 근사 스킴을 순수 PTAS/PRAS로 전환할 수 있는 새로운 타당성 유지 변환을 도입하였으며, 매트로이드 풍선체의 저차원 면을 활용하는 토폴로지 및 다면체 기법을 개발하여 매칭, 스패닝 트리, 매트로이드 독립 집합 등의 문제를 다루었으며, 어떤 예산 제약 조건도 위반하지 않고 (1−ε)-근사 해를 달성하였다.

ABSTRACT

A natural way to deal with multiple, partially conflicting objectives is turning all the objectives but one into budget constraints. Some classical polynomial-time optimization problems, such as spanning tree and forest, shortest path, (perfect) matching, independent set (basis) in a matroid or in the intersection of two matroids, become NP-hard even with one budget constraint. Still, for most of these problems deterministic and randomized polynomial-time approximation schemes are known. In the case of two or more budgets, typically only multi-criteria approximation schemes are available, which return slightly infeasible solutions. Not much is known however for the case of strict budget constraints: filling this gap is the main goal of this paper. We show that shortest path, perfect matching, and spanning tree (and hence matroid basis and matroid intersection basis) are inapproximable already with two budget constraints. For the remaining problems, whose set of solutions forms an independence system, we present deterministic and randomized polynomial-time approximation schemes for a constant number k of budget constraints. Our results are based on a variety of techniques: 1. We present a simple and powerful mechanism to transform multi-criteria approximation schemes into pure approximation schemes. 2. We show that points in low dimensional faces of any matroid polytope are almost integral, an interesting result on its own. This gives a deterministic approximation scheme for k-budgeted matroid independent set. 3. We present a deterministic approximation scheme for 2-budgeted matching. The backbone of this result is a purely topological property of curves in R^2.

연구 동기 및 목표

• 2개 이상의 예산 제약 조건이 있는 다중 예산 최적화 문제에 대한 근사 알고리즘의 격차를 메우기 위해, 특히 k ≥ 2일 경우에 대해.
• 기존의 다중 기준 스킴과 달리, 모든 예산 제약 조건을 정확히 위반하지 않는 다항시간 근사 스킴(PTAS/PRAS)을 개발하기 위해.
• 2개 이상의 예산 제약 조건 하에서 기초 문제들인 최단경로, 완전 매칭, 스패닝 트리에 대한 비근사 가능성 결과를 확립하기 위해.
• 두 예산 제약 조건에서의 근사 기법을 k ≥ 2개의 예산 제약 조건으로 일반화하여 근사 가능성을 가능하게 하는 핵심 구조적 성질을 규명하기 위해.
• 1-예산 변형 문제에 대해 완전 다항시간 근사 스킴(FPTAS)의 존재성을 조사하기 위해, 특히 매칭과 스패닝 트리의 경우에 대해.

제안 방법

• 소규모 예산 위반을 允허하는 다중 기준 PTAS/PRAS를, 모든 예산 제약 조건을 정확히 준수하는 순수 PTAS/PRAS로 변환하는 '타당성 유지' 메커니즘을 제안한다.
• 작은 비율로 예산을 축소한 후에도 좋은 해가 존재함을 보이기 위해 그레디 계량 제거 전략을 사용한다.
• 카라테오도리 정리를 적용하여 매트로이드 풍선체의 정점 해를 최대 3개의 매칭의 볼록 조합으로 표현함으로써 반복적 라운딩을 가능하게 한다.
• R² 상의 곡선의 토폴로지적 성질을 활용하여 2-예산 매칭 문제에서 간선 교환에 적합한 구간을 식별함으로써, 근사 과정 중 예산 준수를 보장한다.
• 매트로이드 풍선체의 저차원 면에 속하는 점들이 거의 정수값을 가짐을 이용하여, k-예산 매트로이드 독립 집합 문제에 대한 결정적 근사가 가능함을 보였다.
• 두 단계 알고리즘을 적용한다: 첫 번째 단계에서 최적 해에 포함된 가장 무거운 간선들을 추측하고, 두 번째 단계에서 제약 조건이 있는 다면체 내의 최대 무게 정점 계산 후 이를 매칭으로 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 2인 k-예산 문제에서 NP-난이도임에도 불구하고, 엄격한 예산 제약 조건을 다항시간 내에 만족시킬 수 있는가?
• RQ2 소규모 예산 위반을 允허하는 다중 기준 근사 스킴을, 모든 예산을 정확히 준수하는 순수 근사 스킴으로 변환할 수 있는가?
• RQ3 매트로이드 풍선체 또는 해 공간의 어떤 구조적 성질이 k-예산 매트로이드 독립 집합 문제에 대한 결정적 근사 가능성을 가능하게 하는가?
• RQ4 2-예산 매칭에 사용된 토폴로지적 접근 방식을 k ≥ 3개의 예산 제약 조건으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 1-예산 스패닝 트리 및 1-예산 매칭 문제에 대해 완전 다항시간 근사 스킴(FPTAS)이 존재하는가? 특히 정확한 매칭과의 연결 고려하여.

주요 결과

• k = 2일지라도, k-예산 스패닝 트리, 최단경로, 완전 매칭, 매트로이드 기저, 매트로이드 교차 기저 문제들은 P = NP가 아닐 경우 어떤 상수 요인 내에서도 근사 가능하지 않다.
• 해 집합이 독립계열을 이루는 문제들에 대해, 임의의 상수 k ≥ 2에 대해 결정적 PTAS와 랜덤화된 PRAS가 존재하며, (1−ε)-근사와 함께 모든 예산 제약 조건을 위반하지 않는다.
• 제안된 타당성 유지 변환은 임의의 다중 기준 PTAS/PRAS를 순수 PTAS/PRAS로 변환할 수 있으며, 엄격한 예산 준수를 가능하게 한다.
• 2-예산 매칭 문제에서는 R² 상의 곡선에 대한 토폴로지적 추론을 통해 결정적 PTAS를 달성하였으며, 간선 교환 과정에서 예산 제약 조건이 유지됨을 보장한다.
• k-예산 매트로이드 독립 집합 문제의 알고리즘은 매트로이드 풍선체의 저차원 면에 속하는 점들의 거의 정수성 성질을 활용하여 (1−ε)-근사 해를 달성한다.
• 알고리즘이 반환하는 해의 무게는 최적 해의 (1−ε) 배 이상이며, 최적 해에 포함된 가장 무거운 6/ε개 간선을 추측한 후에도 근사 보장이 유지된다.