[논문 리뷰] Optimizing fermionic encodings for both Hamiltonian and hardware

Riley W. Chien, Joel Klassen|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 11.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 모든 마조라나 단항식에서 파울리 연산자로의 인코딩을 탐색함으로써, 페르미온 해밀토니안과 특정 양자 하드웨어 연결성에 동시에 최적화된 페르미온 인코딩을 구하는 브루트포스, 브랜치 앤 바운드 알고리즘을 제시한다. 이는 최소한의 회로 깊이를 갖는 최적 또는 near-optimal 인코딩을 달성하며, 격자 및 페르미-허브라드 모델과 같은 이동 대칭성 시스템에서 검증되었고, 발견된 코드의 오류 탐지 성질을 인증할 수 있다.

ABSTRACT

In this work we present a method for generating a fermionic encoding tailored to a set of target fermionic operators and to a target hardware connectivity. Our method uses brute force search, over the space of all encodings which map from Majorana monomials to Pauli operators, to find an encoding which optimizes a target cost function. In contrast to earlier works in this direction, our method searches over an extremely broad class of encodings which subsumes all known second quantized encodings that constitute algebra homomorphisms. In order to search over this class, we give a clear mathematical explanation of how precisely it is characterized, and how to translate this characterization into constructive search criteria. A benefit of searching over this class is that our method is able to supply fairly general optimality guarantees on solutions. A second benefit is that our method is, in principal, capable of finding more efficient representations of fermionic systems when the set of fermionic operators under consideration are faithfully represented by a smaller quotient algebra. Given the high algorithmic cost of performing the search, we adapt our method to handle translationally invariant systems that can be described by a small unit cell that is less costly. We demonstrate our method on various pairings of target fermionic operators and hardware connectivities. We additionally show how our method can be extended to find error detecting fermionic encodings in this class.

연구 동기 및 목표

• 특정 페르미온 해밀토니안과 특정 양자 하드웨어 연결성에 동시에 최적화된 맞춤형 페르미온 인코딩의 부족을 해결한다.
• 큐비트 연결성과 회로 깊이와 같은 하드웨어 특수 제약 조건에 최적화되지 않은 일반적인 기존 인코딩의 한계를 극복한다.
• 두 번째 양자화된 인코딩의 광범위한 클래스—구체적으로 마조라나 단항식에서 파울리 연산자로의 모든 대수 호모모르피즘—을 체계적으로 탐색할 수 있는 방법을 개발한다.
• 페르미온 시스템과 하드웨어 레이아웃의 이동 대칭성을 활용하여 계산 비용을 줄이고, 현실적인 규모의 문제에 대해 검색이 가능하게 한다.
• 발견된 인코딩이 오류 탐지 능력을 갖도록 방법을 확장하여, 근접한 양자 시뮬레이션에서의 고장 내성 잠재력을 향상시킨다.

제안 방법

• 모든 마조라나 단항식에서 파울리 연산자로의 인코딩 공간에 대한 브루트포스 검색을 수행하며, 이는 마조라나 단항식의 군 대수 위에서 정의된 대수 호모모르피즘으로 수학적으로 기술된다.
• 스테이너 트리 기반 비용 모델에 기반해 부분 인코딩의 비용을 경계함으로써 검색 공간을 효율적으로 줄이는 브랜치 앤 바운드 알고리즘을 구현한다.
• 인코딩의 비용을 해밀토니안의 각 항을 지지하는 큐비트를 연결하기 위해 필요한 스티너 트리의 최대 간선 수로 정의하며, 이는 회로 깊이의 대체 지표로 사용된다.
• 페르미온 대수와 하드웨어 레이아웃 양쪽에서 이동 불변성을 활용하여 대칭성 감소를 적용하며, 작은 단위 세포로 시스템을 표현함으로써 검색 복잡도를 크게 감소시킨다.
• 군의 구조와 단항식 관계를 사용하여 인코딩 공간의 수학적 특성화를 검색 기준으로 체계적으로 변환한다.
• 유도된 코드의 스테이블라이저 구조를 분석하여 오류 탐지 능력을 확인함으로써 방법을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 광범위한 페르미온 인코딩 클래스에 대한 체계적이고 포괄적인 검색이 특정 페르미온 해밀토니안과 주어진 하드웨어 연결성에 맞는 최적 또는 near-optimal 매핑을 식별할 수 있는가?
• RQ2 페르미온 시스템과 하드웨어 레이아웃의 이동 대칭성을 얼마나 효과적으로 활용할 수 있는가? 이는 검색의 계산 비용을 줄이고 최적성을 유지하는 데 기여하는가?
• RQ3 제안된 방법이 기존 인코딩보다 더 낮은 회로 깊이와 큐비트 연결성 요구 조건을 갖는, 이전에 알려지지 않은 인코딩을 발견할 수 있는가?
• RQ4 이 방법을 노이즈가 많은 중간 규모 양자 장치에서의 내성 향상을 위해 내재된 오류 탐지 능력을 갖는 인코딩을 식별하는 데 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 특히 스티너 트리 기반의 깊이 대체 지표를 포함한 다양한 비용 모델은 발견된 인코딩의 품질과 실현 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법은 표준 페르미온 대수에서 평면형 및 비평면형 하드웨어 레이아웃에 대해 최적의 인코딩을 성공적으로 발견하였으며, 이는 정사각 격자와 이중층 시스템의 모서리 및 변 연산자 포함한다.
• 정사각 격자 위의 페르미-허브라드 모델에 대해, 방법은 하드웨어 연결성 효율성 측면에서 표준 인코딩을 능가하는 최소 회로 깊이를 갖는 인코딩을 식별하였다.
• 기존에 알려진 인코딩을 재발견하였고, 정의된 비용 함수 하에서 최적성의 정당성을 확인함으로써 검색 프레임워크의 정확성을 입증하였다.
• 기존 인코딩보다 더 효율적인, 이전에 알려지지 않은 인코딩을 발견하였으며, 특히 해밀토니안 항들에 걸쳐 최대 스티너 트리 비용을 줄이는 데 뛰어난 성능을 보였다.
• 발견된 많은 인코딩은 스테이블라이저 코드이며, 그들의 오류 탐지 능력은 공식적으로 검증되었으며, 이는 방법이 고장 내성 고려 사항을 통합할 수 있음을 보여준다.
• 이동 대칭성의 활용은 검색 공간을 충분히 줄여, 단위 세포당 몇 십 큐비트 규모의 시스템에 대해 계산적으로 실현 가능한 방법이 되게 하였으며, 현재의 포괄적 검색 능력의 한계를 확장하였다.