[논문 리뷰] Optimizing Geometric Multigrid Methods with Evolutionary Computation

Jonas Schmitt, Sebastian Kuckuk외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 07.

Evolutionary Algorithms and Applications참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 도메인 특화 문법을 사용하여 기하학적 멀티그리드 솔버의 기호적 표현을 생성하고, 자동 국소 푸리에 분석과 루프라이닝 모델링을 통해 수렴성과 성능을 모델링함으로써, 진화 계산 기반의 자동 최적화 방법을 제안한다. 이 방법은 2D 및 3D 정 steady-state 열 방정식에 대해 일정 및 변수 계수를 가진 경우 표준 사이클보다 우수한 성능을 보이는 V- 및 W-사이클 유사 솔버를 도출한다.

ABSTRACT

For many linear and nonlinear systems that arise from the discretization of partial differential equations the construction of an efficient multigrid solver is a challenging task. Here we present a novel approach for the optimization of geometric multigrid methods that is based on evolutionary computation, a generic program optimization technique inspired by the principle of natural evolution. A multigrid solver is represented as a tree of mathematical expressions which we generate based on a tailored grammar. The quality of each solver is evaluated in terms of convergence and compute performance using automated local Fourier analysis (LFA) and roofline performance modeling, respectively. Based on these objectives a multi-objective optimization is performed using strongly typed genetic programming with a non-dominated sorting based selection. To evaluate the model-based prediction and to target concrete applications, scalable implementations of an evolved solver can be automatically generated with the ExaStencils framework. We demonstrate our approach by constructing multigrid solvers for the steady-state heat equation with constant and variable coefficients that consistently perform better than common V- and W-cycles.

연구 동기 및 목표

• 편미분 방정식을 위한 고성능 기하학적 멀티그리드 솔버의 자동 설계를 목적으로 한다.
• 멀티그리드 솔버 구축의 수작업적 전문성에 기반한 복잡성을 제거하기 위해, 솔버의 구조를 형식적 문법으로 표현함으로써 이를 해결하고자 한다.
• 다중 목적 진화 알고리즘을 사용하여 수렴 속도와 계산 성능의 양면에서 멀티그리드 솔버를 최적화하고자 한다.
• ExaStencils 프레임워크를 활용하여 도출된 솔버에서 확장 가능하고 프로덕션 수준의 코드를 자동 생성하고자 한다.
• 변수 계수와 일정 계수를 가진 정 steady-state 열 방정식에 대해 본 방법의 효과성을 입증하고자 한다.

제안 방법

• 유효한 멀티그리드 솔버 표현을 생성하기 위해 문맥 자유 문법을 정의하였으며, 이는 안정화 방법, 제한, 연장 및 굴착 격자 보정을 포함한다.
• 각 솔버는 메쉬 크기와 무관하게 문법에서 유도된 기호적 표현의 트리로 표현된다.
• 수렴성은 반복 행렬의 스펙트럼 반경을 추정하기 위해 자동 국소 푸리에 분석(LFA)을 사용하여 평가된다.
• 계산 성능은 모든 연산의 총 실행 시간을 추정하기 위해 루프라이닝 모델링을 통해 예측된다.
• 비지배적 정렬 선택 기반의 강력한 타입 지정 유전자 프로그래밍을 사용하여 다중 목적 최적화를 수행함으로써 수렴성과 성능의 균형을 이룬다.
• 도출된 솔버는 도메인 특화 언어(DSL)로 컴iles되며, ExaStencils 코드 생성 프레임워크를 통해 자동으로 구현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진화 계산 기반으로 수작업 전문가의 간섭 없이 고성능 기하학적 멀티그리드 솔버를 자동으로 생성할 수 있는가?
• RQ2 형식적 문법이 다양한 격자 수준에서 유효하고 효율적인 멀티그리드 솔버 구조를 효과적으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 수렴성과 성능에 대한 모델 기반 예측이 멀티그리드 솔버의 효과적인 다중 목적 최적화를 이끌 수 있는가?
• RQ4 도출된 솔버가 열 방정식의 수렴성과 런타임 측면에서 표준 V- 및 W-사이클보다 뛰어난가?
• RQ5 도출된 솔버의 구조적 패턴이 최적의 멀티그리드 설계 원칙을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 일정 및 변수 계수를 가진 2D 및 3D 정 steady-state 열 방정식에 대해 도출된 솔버는 수렴성과 성능 측면에서 표준 V- 및 W-사이클을 일관되게 능가한다.
• 도출된 솔버는 공통적인 구조적 패턴을 보이며, 하이브리드 레드-블랙 가우스-자이델 및 재귀적 잡리 방법을 사용하는 V-사이클 아키텍처를 취하고, 후처리 스무딩을 위해 과잉 및 과소 조정된 잡리 반복을 사용한다.
• 사전 스무딩의 경우 일반적으로 한 번의 레드-블랙 가우스-자이델 반복을 사용한 후, 다양한 수의 잡리 반복을 수행하며, 더 낮은 수준의 격자에서는 더 많은 스무딩 단계를 적용한다.
• 진화 알고리즘이 반복마다 대각 행렬의 역행렬을 한 번만 적용하고, 다른 안정화 요소와 분할 방식을 반복적으로 적용할 경우 성능이 향상됨을 발견하였다.
• ExaStencils를 통해 확장 가능하고 프로덕션 수준의 코드가 성공적으로 생성되어 실용적 구현 가능성의 타당성을 입증하였다.
• 문법에서 가우스-자이델 또는 잡리 방법에 대한 명시적 제약 조건이 없었음에도 불구하고 최적의 패턴이 자발적으로 도출된 점은, 본 방법이 효과적인 설정을 자율적으로 탐색할 수 있음을 시사한다.