[논문 리뷰] Optimizing Quantum Circuits for Arithmetic

Thomas Häner, Martin Roetteler외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 조각 다항근사법과 고전적 고성능 컴퓨팅 기법을 활용하여, arcsin(x), 1/√x, 가우시안, 삼각함수와 같은 핵심 산술 함수를 평가하기 위한 최적화된 가역 양자 회로를 제시한다. 병렬화된 호너 체계와 최적화된 뉴턴-라프슨 반복을 통해 역제곱근을 계산함으로써, 토플리 게이트 수와 큐비트 사용량을 크게 감소시켜 HHL 및 양자 거부 샘플링과 같은 양자 알고리즘의 정확한 비용 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Many quantum algorithms make use of oracles which evaluate classical functions on a superposition of inputs. In order to facilitate implementation, testing, and resource estimation of such algorithms, we present quantum circuits for evaluating functions that are often encountered in the quantum algorithm literature. This includes Gaussians, hyperbolic tangent, sine/cosine, inverse square root, arcsine, and exponentials. We use insights from classical high-performance computing in order to optimize our circuits and implement a quantum software stack module which allows to automatically generate circuits for evaluating piecewise smooth functions in the computational basis. Our circuits enable more detailed cost analyses of various quantum algorithms, allowing to identify concrete applications of future quantum computing devices. Furthermore, our resource estimates may guide future research aiming to reduce the costs or even the need for arithmetic in the computational basis altogether.

연구 동기 및 목표

• 양자 산술 함수에 대한 자세한 자원 추정이 부족하여 고전적 알고리즘과 양자 알고리즘의 교차점에 영향을 미치는 문제를 해결한다.
• 1/√x, arcsin(x), 가우시안 등의 함수 구현이 비효율적일 경우 발생하는 높은 상수 오버헤드를 줄인다.
• HHL, 양자 메트로폴리스 샘플링, 양자 기계학습과 같은 양자 알고리즘의 정밀한 비용 분 析를 가능하게 하기 위해 재사용 가능한 가역 양자 회로를 제공한다.
• 계산 기저에서 부드럽고 조각별로 부드러운 함수를 평가할 때 자원 비용(토플리 게이트, 큐비트)을 최소화하기 위해 고전적 고성능 컴퓨팅의 통찰을 활용한다.

제안 방법

• 병렬화된 호너 체계를 사용하여 다항식을 동시에 조건부로 평가함으로써 부드러운 함수에 대한 조각 다항근사법을 구현한다.
• 쿼익 3 아레나의 빠른 역제곱근 알고리즘을 최적화된 초기 추정치로 조정하여 뉴턴 반복 수를 20–25% 감소시켜 토플리 수를 최소화한다.
• 가역 산술 회로(예: 인라인 상수 덧셈기, 제어된 스위치)를 사용하여 저수준 연산을 수행함으로써 토플리 게이트 수준에서 완전한 가역성을 확보한다.
• 정의역의 부분구간에서 최소최대 다항근사법을 적용하여 저차수 다항식으로도 높은 정확도를 달성하고, 게이트 수를 감소시킨다.
• 제곱근, 역제곱근, 다항식 평가 서브루틴을 LiQUi|⟩ 및 Q#과 같은 언어와 호환되는 모듈식 양자 소프트웨어 스택에 통합한다.
• 토플리 회로 시뮬레이터를 사용한 가역 시뮬레이션을 통해 회로를 검증하였으며, 수백 큐비트까지 테스트하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각 다항근사법을 가역 양자 환경에서 효율적으로 구현하여 토플리 게이트 수와 큐비트 수를 최소화할 수 있는가?
• RQ2 양자 환경에서 뉴턴-라프슨 반복을 위한 최적의 초기 추정치 전략은 무엇인가? 이는 역제곱근 계산의 반복 수를 줄이는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Cephes 라이브러리나 쿼익 3 아레나의 빠른 역제곱근과 같은 고전적 고성능 컴퓨팅 기법을 양자 산술에 얼마나 잘 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 arcsin(x), 1/√x, 가우시안과 같은 핵심 함수를 가역 양자 회로로 구현할 때 정확한 자원 비용(토플리 게이트 수, 큐비트 수)은 얼마인가?
• RQ5 다항식 차수와 부분구간 분할 전략의 선택이 양자 함수 평가의 정확도와 자원 비용에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최적화된 초기 추정치 덕분에 역제곱근 계산에서 뉴턴 반복 수를 20–25% 감소시켜 토플리 게이트 수가 직접적으로 감소하였다.
• arcsin(x)의 구현은 x ∈ [−0.5, 0.5] 범위에서 sin(x)를 단 한 번만 호출하며, 차수-d 다항근사법을 사용할 경우 총 토플리 게이트 수는 O(dn²)로 스케일링된다.
• 정밀도 10⁻⁵로 [−0.5, 0.5] 범위에서 arcsin(x)를 평가하려면 8,370개의 토플리 게이트와 6개의 부분구간, 232개의 큐비트가 필요하며, sin(x)는 10⁻⁵ 오차로 10,661개의 토플리 게이트와 2개의 큐비트(각 계수당)를 사용한다.
• 가역적인 빠른 역제곱근은 3–5회의 뉴턴 반복으로 안정적으로 수렴하며, n = 50비트, p = 5소수비트일 때 L∞ 오차가 10⁻⁵ 이하가 된다.
• 조각 다항식 평가 체계는 정의역을 분할함으로써 고차수 다항식의 필요성을 줄여, 저차수 근사로도 높은 정확도를 달성할 수 있도록 한다.
• 자원 추정 결과, arcsin(x) 평가 비용은 주로 역제곱근과 다항식 평가 서브루틴에 의해 결정되며, 후자는 토플리 게이트 수에 상당한 기여를 한다.