[논문 리뷰] Optimizing quantum optimization algorithms via faster quantum gradient computation

András Gilyén, Srinivasan Arunachalam외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 부드러운 다변수 함수의 기울기를 계산하는 양자 알고리즘을 제안하며, 기존 Jordan의 알고리즘 대비 정확도에 대한 의존도를 제곱근으로 개선하여 더 빠른 양자 최적화를 가능하게 한다. 이는 효율적인 중첩 기반 평가와 오ракูล 변환을 통해 달성되며, VQE, QAOA 및 양자 오토에코더와 같은 변분 양자 알고리즘에 대해 제곱 또는 심지어 지수적 속도 향상을 제공한다.

ABSTRACT

We consider a generic framework of optimization algorithms based on gradient descent. We develop a quantum algorithm that computes the gradient of a multi-variate real-valued function f : Rd → R by evaluating it at only a logarithmic number of times in superposition. Our algorithm is an improved version of Jordan's gradient computation algorithm [28], providing an approximation of the gradient ▽f with quadratically better dependence on the evaluation accuracy of f, for an important class of smooth functions. Furthermore, we show that objective functions arising from variational quantum circuits usually satisfy the necessary smoothness conditions, hence our algorithm provides a quadratic improvement in the complexity of computing their gradient. We also show that in a continuous phase-query model, our gradient computation algorithm has optimal query complexity up to poly-logarithmic factors, for a particular class of smooth functions. Moreover, we show that for low-degree multivariate polynomials our algorithm can provide exponential speedups compared to Jordan's algorithm in terms of the dimension d.One of the technical challenges in applying our gradient computation procedure for quantum optimization problems is the need to convert between a probability oracle (which is common in quantum optimization procedures) and a phase oracle (which is common in quantum algorithms) of the objective function f. We provide efficient subroutines to perform this delicate interconversion between the two types of oracles incurring only a logarithmic overhead, which might be of independent interest. Finally, using these tools we improve the runtime of prior approaches for training quantum auto-encoders, variational quantum eigensolvers (VQE), and quantum approximate optimization algorithms (QAOA).

연구 동기 및 목표

• 기존 방법에 비해 더 나은 정확도 스케일링을 갖는 부드러운 함수의 기울기를 계산하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 변분 양자 회로에서 기울기 계산의 쿼리 복잡도를 줄여 더 빠른 양자 최적화를 가능하게 하는 것.
• 변분 양자 최적화에서 확률 오라클과 위상 오라클 사이의 격차를 메우며, 기존 양자 알고리즘과 원활한 통합을 가능하게 하는 것.
• 변분 양자 알고리즘에서 목적 함수가 개선된 기울기 방법에 필요한 부드러움 조건을 일반적으로 만족하는가를 입증하는 것.
• 연속적 위상 쿼리 모델에서 기울기 계산에 대해 최적의 쿼리 복잡도를 달성하는 것(다항로그 요소를 제외한 최적성)

제안 방법

• 알고리즘은 중첩 상태에서 함수 f를 로그 수준의 점들에서 평가하여 기울기 추정을 효율적으로 수행한다.
• 부드러운 함수에 대해 정확도에 대한 의존도를 Jordan의 알고리즘보다 제곱근만큼 개선함으로써 그를 초월한다.
• 기울기 ▽f를 근사하기 위해 진폭 강화와 위상 추정을 활용하는 새로운 양자 절차에 기반한다.
• 확률 오라클과 위상 오라클 간의 효율적인 서브루틴을 도입하여 오직 로그 수준의 오버헤드만 발생시킨다.
• 특정 부드러운 함수 클래스에 대해 연속적 위상 쿼리 모델에서 다항로그 요소를 제외한 최적성임을 입증한다.
• 저차수의 다변수 다항식에 대해서는 차원 d에 대해 Jordan의 방법에 비해 지수적 속도 향상을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 평가 정확도에 대한 의존도를 줄임으로써 양자 기울기 계산을 더 효율적으로 만들 수 있는가?
• RQ2 변분 양자 회로에서 유도된 목적 함수가 개선된 기울기 알고리즘에 필요한 부드러움 조건을 만족하는가?
• RQ3 연속적 위상 쿼리 모델에서 부드러운 함수에 대한 양자 기울기 계산의 최적 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 양자 최적화 워크플로우에서 확률 오라클과 위상 오라클을 효율적으로 상호 변환할 수 있는가?
• RQ5 개선된 기울기 알고리즘이 특정 클래스의 최적화 문제에서 지수적 속도 향상을 이끌 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 양자 기울기 알고리즘은 부드러운 함수에 대해 Jordan의 알고리즘 대비 함수 평가 정확도에 대한 의존도를 제곱근만큼 개선한다.
• VQE, QAOA 및 양자 오토에코더를 포함한 변분 양자 회로에서 기울기 계산 복잡도에 대해 제곱 속도 향상을 제공한다.
• 저차수의 다변수 다항식에 대해서는 차원 d에 대해 Jordan의 방법에 비해 지수적 속도 향상을 제공한다.
• 특정 부드러운 함수 클래스에 대해 연속적 위상 쿼리 모델에서 알고리즘의 쿼리 복잡도는 다항로그 요소를 제외한 최적이다.
• 오라클 상호 변환 서브루틴은 오직 로그 수준의 오버헤드만 발생시켜 효율적이며 기존 양자 최적화 파ip라인에 통합하기에 적합하다.
• 기울기 계산을 가속화함으로써 양자 오토에코더, VQE 및 QAOA의 실행 시간을 향상시킬 수 있다.