[논문 리뷰] Optimum-width upward drawings of trees

Thérèse Biedl|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 06.

Remote Sensing and LiDAR Applications참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 인스턴스 최적의 폭을 갖는 상향식 트리 그림을 선형 시간에 구성하는 알고리즘을 제시한다. 순서 없는 트리의 경우 최적 폭의 직선 그림을 제공하고, 순서 있는(순서 유지) 트리의 경우 굴곡이 있는 다각형선 그림을 사용해 최적 폭을 달성한다. 핵심 기여는 순서 유지 그림에 대해 최소 폭을 특성화하는 데 사용되는 랭크 기반 파라미터이다.

ABSTRACT

An upward drawing of a tree is a drawing such that no parents are below their children. It is order-preserving if the edges to children appear in prescribed order around each node. Chan showed that any tree has an upward order-preserving drawing with width O(log n). In this paper, we present linear-time algorithms that finds upward with instance-optimal width, i.e., the width is the minimum-possible for the input tree. We study two different models. In the first model, the drawings need not be order-preserving; a very simple algorithm then finds straight-line drawings of optimal width. In the second model, the drawings must be order-preserving; and we give an algorithm that finds optimum-width poly-line drawings, i.e., edges are allowed to have bends. We also briefly study order-preserving upward straight-line drawings, and show that some trees require larger width if drawings must be straight-line.

연구 동기 및 목표

• 주어진 트리에 대해 최소 폭을 갖는 상향식 트리 그림을 찾고, 이를 인스턴스 최적화한다.
• 이deal 그림(직선, 순서 유지)의 제약 조건을 완화하여 문제를 해결 가능하게 하되, 최적성은 유지한다.
• 다른 모델(순서 없는 vs. 순서 유지) 하에서 최적 폭 그림을 계산하는 효율적인 알고리즘을 개발한다.
• 새로운 그래프 파라미터인 '랭크'를 사용해 순서 유지 상향 그림에 필요한 최소 폭을 특성화한다.
• 특히 루트를 모서리에 놓아야 할 경우, 직선 그림이 최적 폭에 도달하는 데 한계가 있음을 탐색한다.

제안 방법

• 순서 유지 상향 다각형선 그림에 필요한 최소 폭을 캡처하는 파라미터로 트리의 '랭크'를 정의한다.
• 각 부트리의 랭크를 계산하고, 폭을 결정하는 데 기여하는 코너-워니트(모서리 조건을 유도하는 노드 구성)를 식별하는 재귀 알고리즘을 사용해 전역 최소 폭을 결정한다.
• 순서 없는 그림의 경우 기존 알고리즘의 단순한 수정을 적용해 최적 폭의 직선, 엄격히 상향, 평면 그림을 생성한다.
• 순서 있는 그림의 경우 자식의 순서를 유지하면서 굴곡이 있는 다각형선 그림을 재귀적으로 구성하여 계산된 랭크와 동일한 폭을 확보한다.
• 왼쪽 및 오른쪽 테스트(TestLeft, TestRight)를 사용해 코너-워니트의 존재 여부를 검사하여 트리의 랭크가 하위 트리의 최대 랭크와 동일한지, 또는 그보다 1만큼 큰지 결정한다.
• 트리의 최대 차수 ≤4일 경우 랭크 파라미터는 루트 기반 경로 폭과 동일하지만, 고차수 트리의 경우 랭크가 루트 기반 경로 폭의 최대 두 배까지 클 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 없는 모델 하에서 인스턴스 최적 폭을 갖는 상향식 트리 그림을 계산할 수 있는가?
• RQ2 순서 유지 상향 다각형선 그림에서 최적 폭을 달성할 수 있으며, 만약 가능하면 그 방법은 무엇인가?
• RQ3 랭크 파라미터는 모든 트리에서 루트 기반 경로 폭과 동일한가, 아니면 예외가 존재하는가?
• RQ4 직선 그림이 항상 다각형선 그림과 동일한 최적 폭을 달성하는가, 아니면 일부 트리에서는 직선 그림이 더 큰 폭이 필요한가?
• RQ5 특히 직선 그림의 경우, 최적 폭 그림에서 루트를 항상 모서리에 놓을 수 있는가?

주요 결과

• 부트리의 랭크와 코너-워니트를 기반으로 재귀적으로 정의된 트리의 랭크는 순서 유지 상향 다각형선 그림에 필요한 최소 폭을 정확히 특성화한다.
• 선형 시간 알고리즘이 랭크를 계산하고 순서 유지 다각형선 그림의 최적 폭 그림을 구성할 수 있으며, 폭은 최대 (log n + 1) × (2n - 1) 이내이다.
• 순서 없는 트리의 경우 단순한 알고리즘이 선형 시간 내에 최적 폭의 직선 그림을 생성하며, 폭은 최대 log(n+1) × n 이내이다.
• 일부 트리에서는 다각형선 그림에서 가능할 수 있는 폭과 비교해 직선 그림에서 더 큰 폭이 필요로 하는 경우가 존재한다.
• 특히 4차 트리의 경우에도 최적 폭의 직선 그림에서 루트를 항상 모서리에 놓을 수 있는 것은 아니다.
• 5차 트리의 경우 랭크가 루트 기반 경로 폭의 최대 두 배까지 클 수 있어, 순서 없는 그림과 순서 있는 그림 간의 폭 격차가 뚜렷하게 드러난다.